RMCS nr 25 by OVIDIU BADESCU

REVISTA DE MATEMATICĂ

Colectivul de redacţie

o. ro

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin

tri n

Avrǎmescu Irina Bǎdescu Ovidiu Chiş Vasile Dragomir Adriana Dragomir Lucian Drǎghici Mariana Didraga Iacob Gîdea Vasilica Golopenţa Marius

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

Nr. 25, An IX-2008

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2008

Iatan Rodica Lazarov Mihael Mitricǎ Mariana Moatǎr Lavinia Neagoe Petrişor Pistrilǎ Ion Dumitru Stǎniloiu Nicolae Şandru Marius Şuşoi Paul

Redacţia

Redactor-Şef: Dragomir Lucian Redactor-Şef Adjunct: Bădescu Ovidiu Redactori principali: Dragomir Adriana Neagoe Petrişor Stăniloiu Nicolae Responsabil de număr:Adriana Dragomir

o. ro Din cugetările lui Nicolae Iorga

CUPRINS

● Nu spune niciodată “nu se poate”, începe cu “să vedem”.

●Scrie ca să nu pierzi florile gândului tău pe care, altfel, le ia vântul! ●Dacă poţi merge, de ce să te târăşti ?

● Din cugetările lui Nicolae Iorga ………………........ ● Chestiuni metodice, note matematice ■ Puncte importante în triunghi (I) (Marina şi Mircea Constantinescu)... ■ Generalizarea unei probleme de concurs (Nicolae Stăniloiu) ...................... ■ Metode de rezolvare a problemelor cu unghiuri în spaţiu (Maria Iancu) …………………….. ■ Diversitate în curriculumul şcolar – curs opţional (Tudor Deaconu)……………….. ■ Calculul unor sume cu combinǎri (Nicolae Stǎniloiu)……………….. ■ Partea întreagǎ,partea fracţionarǎ a unui numǎr real (Lucian Dragomir) ……………….. ■ Olimpiada Naţionalǎ 2008 pentru clasele V-VI (Miruna şi Loreta Ciulu)………….. ■ Graficul olimpiadelor şi concursurilor ………….

Pag. 4

● Probleme rezolvate …………………………………... ● Concursul revistei, ediţia a IV-a ................................... ● Probleme propuse ……………………………………. ● Tabel nominal cu membrii Filialei Caraş-Severin ai S.S.M.R cu starea cotizaţiei pe anii 2007, 2008........ ● Rubrica rezolvitorilor …………………………………

Pag.32 Pag.53 Pag.54

●Ataci o părere a unui prost şi te trezeşti cu prostul întreg în discuţie.

Pag.62 Pag.67

● Cel care stă jos să nu râdă de cel care cade de pe vârfuri.

●Viaţa nu înseamnă a trăi, ci a şti pentru ce trăieşti.

● Sunt succese care te înjosesc şi eşecuri care te înalţă.

Pag.10

●Nu imita ce nu-ţi trebuie.

Pag.12

●Pentru fiecare om e un drum către fericire: acela pe care e chemat să

tri n

Pag. 5

Pag.15

●Zburând sus, te faci nevăzut, dar vezi. ● Omul cu adevărat bun este doar cel care ar fi putut fi rău şi n-a fost.

Pag.19

meargă. Cei mai mulţi nu-l găsesc niciodată, cei cuminţi încearcă până la moarte, iar cei proşti se trântesc la pământ şi plâng că sunt nenorociţi.

Pag.21

Pag.30 Pag.31

●Un om cult înseamnă o minte deschisă către bunătate şi frumuseţe. ●Şcoala cea mai bună e aceea în care înveţi înainte de toate a învăţa.

● Drumul lung începe de unde ai obosit.

●Copiii trebuie crescuţi pentru ei, nu pentru părinţi. ●Cine uită, nu merită. ●Şcoala cea bună e aceea în care şi şcolarul învaţă pe profesor. 4

1.Ortocentrul Marina Constantinescu, Mircea Constantinescu

A′H ⊥ B′C ′. Soluţie. Deoarece BC ′ = BA′ rezultă că Cum ΔEA′C ≡ ΔEB′C ( L.U .L ) rezultă că

( 2)

AC ′E ≡ CB′E deci patrulaterul AC ′EB′ este inscriptibil. Aşadar B′E ⊥ A′C ′. Analog se deduce că C ′D ⊥ A′B′ şi deci H este ortocentrul ΔA′B′C ′ de unde rezultă că A′H ⊥ B′C ′. Prezentăm în continuare unele rezultate remarcabile şi utile în legătură cu ortocentrul unui triunghi. Propoziţia 1 a) Fie A1 , B1 , C1 intersecţiile înalţimilor AA′, BB′, CC ′ ale unui triunghi ABC cu cercul său circumscris. Atunci A1 , B1 , C1 sunt simetricele ortocentrului H al triunghiului ABC în raport cu BC , CA respectiv AB. b) Cu notaţiile anterioare ortocentrul H al triunghiului, mijlocul M al laturii BC şi punctul A2 diametral opus lui A sunt coliniare, iar dacă O este centrul cercului circumscris atunci AH = 2OM . şi

Soluţie. Fie H ortocentrul triunghiului BCD şi BB / ⊥ CD,

DD / ⊥ BC. Cum CD ⊥ AB rezultă că CD ⊥ AH . Analog BC ⊥ AH deci AH ⊥ ( BCD) . Deoarece H este ortocentrul triunghiului BCD rezultă că CH ⊥ BD . Cum AH ⊥ BD se obţine BD ⊥ ( AHC ) de unde concluzia este imediatǎ. Problema 3. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC şi ′ ′ A , B , C ′ punctele de tangenţă ale laturilor ( BC ) , ( CA ) , ( AB ) cu cercul

AC ′A′ ≡ CA′C ′ (1) .

CA′E ≡ CB′E ( 2 ) . Din (1)

obţinem

tri n

Există o seamă de puncte remarcabile într-un triughi care joacă un rol fundamental în geometria triunghiului. În programa şcolară în vigoare se studiază unele dintre cele mai importante precum: centrul de greutate, ortocentrul, centrele cercurilor circumscris şi înscris în triunghi, între acestea existând relaţii remarcabile. În cadrul acestui articol ne vom ocupa de unul dintre aceste puncte: ortocentrul unui triunghi. Vom stabili câteva proprietăţi şi vom prezenta unele aplicaţii. Admitem cunoscut faptul că într-un triunghi înălţimile sunt concurente. Definiţie. Punctul de intersecţie a înălţimilor unui triunghi se numeşte ortocentrul triunghiului. Observaţie. Dacă triunghiul este ascuţitunghic atunci ortocentrul se află în interiorul său, dacă triunghiul este obtuzunghic atunci ortocentrul este situat în exteriorul triunghiului, iar în cazul triunghiului dreptunghic ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept. Concurenţa înălţimilor unui triunghi poate fi folosită la demonstrarea perpendicularităţii unor drepte după cum vom vedea în următoarele aplicaţii. Problema 1. Unghiurile opuse A şi C ale patrulaterului ABCD sunt drepte. Fie AD ∩ CB = {E} şi AB ∩ CD = { F } . Să se arate că BD ⊥ EF . Soluţie. Se observă că AE şi CF sunt înălţimi în ΔBEF , deci D este ortocentrul triunghiului BEF şi atunci BD ⊥ EF . Problema 2. Se consideră tetraedrul ABCD în care AB ⊥ CD şi BC ⊥ AD. Să se arate că BD ⊥ AC .

o. ro

său înscris de centru I . Dreptele BI şi CI intersectează pe A′B ′ respectiv A′C ′ în D şi E . Fie { H } = B′E ∩ C ′D. Să se arate că

Puncte importante în triunghi

Soluţie.a).

m ( A1BA′ ) = m ( A1 AC ) =

ΔBB ′C ∼ ΔAA′C (U .U .) rezultă că

( 2)

( ) (1).

m A1C

Cum 2 HBA′ ≡ A1 AC ( 2 ) . Din (1) şi

deducem că HBA′ ≡ A1 BA′ şi cum BA′ ⊥ HA1 rezultă că HA′ = A′A1. Analog se obţin celelalte două relaţii. b). m ( A2CA) = 90 deci A2C ⊥ CA şi cum BH ⊥ CA

rezultă că BH şi A2 C sunt paralele. Analog CH şi A2 B sunt paralele deci BA2 CH este paralelogram şi deci H , M , A2 sunt coliniare şi HM = MA2 . Atunci OM este linie mijlocie în ΔA2 AH deci AH = 2OM . Propoziţia 2 Se consideră triunghiul ABC şi A′, B′, C ′ picioarele înălţimilor, H ortocentrul triunghiului, A′′, B′′, C ′′ mijloacele laturilor şi A1 , B1 , C1

Cum A1B ′′ este linie mijlocie în AHC rezultă că A1B′′ şi CH sunt paralele deci A1 B ′′ ⊥ AB deci A1B′′ ⊥ A1B1 ( 2 ) . Relaţiile (1) şi ( 2 ) arată că A1 B1 A′′B ′′ este dreptunghi. Analog A1C1 A′′C ′′ este dreptunghi.

[ A1 A′′] , [ B1B′′] , [C1C ′′]

sunt congruente şi se înjumătăţesc deci punctele A1 , B1 , C1 , A′′, B′′, C ′′ sunt conciclice. Dreptele BH = A′′C1 deducem că B1C1 A′′A′ B1C1 şi BC fiind paralele şi A′B1 = 2 este trapez isoscel, deci inscriptibil, deci A′ se află pe cercul circumscris triunghiului B1C1 A′′, aşadar conciclic cu cele şase puncte anterioare. Analog B′, C ′ se găsesc pe acelaşi cerc cu cele şase puncte anterioare, deci cele nouă puncte sunt conciclice. Soluţia 2. Fie A3 , B3 , C3 punctele de intersecţie ale înălţimilor ′ AA , BB′, CC ′ cu cercul circumscris triunghiului ABC şi A2 , B2 , C2 punctele diametral opuse punctelor A, B, C în acest cerc. Considerăm 1 omotetia de centru H şiraport . Conform propoziţiei 1 imaginile 2 punctelor A2 , B2 , C2 prin această omotetie sunt punctele A′′, B′′, C ′′ , imaginile punctelor A3 , B3 , C3 sunt punctele A′, B′, C ′ , iar imaginile punctelor A, B, C sunt punctele A1 , B1 , C1 respectiv. Aşadar punctele A′, B′, C ′ , A′′, B′′, C ′′ , A1 , B1 , C1 se află pe un cerc, omoteticul cercului circumscris triunghiului ABC prin omotetia de centru H şi 1 raport . 2 Observaţie. Centrul acestui cerc este mijlocul segmentului [OH ] . Prezentăm acum alte două aplicaţii care vizează conceptul de ortocentru. Problema 4. Se consideră un triunghi ABC . Un cerc de diametru [ EF ] cu [ EF ] ⊂ [ BC ] este tangent dreptelor AB şi AC respectiv în punctele M şi N . Să se arate că dreapta MN trece prin ortocentrul triunghiului AEF .

Fie O centrul cercului,

{P} = AO ∩ MN , AA′ ⊥ BC ,

A′ ∈ BC ,{ H } = AA′ ∩ MN şi U al doilea punct de intersecţie al dreptei AE cu cercul. Triunghiul ANO este dreptunghic în N şi AO ⊥ MN şi atunci conform teoremei catetei avem

AN 2 = AP ⋅ AO (1) . Cum

ΔAPH ∼ ΔAA′O (U .U .) rezultă că AP ⋅ AO = AH ⋅ AA′ ( 2 ) . Conform puterii punctului faţă de cerc rezultă

că

AN = AU ⋅ AE ( 3) . Din (1) , ( 2 ) şi ( 3) deducem că AU ⋅ AE = AH ⋅ AA′ şi atunci AHU ∼ AEA′ deci HU ⊥ AE . Cum FU ⊥ AE rezultă că F , H ,U sunt coliniare şi deci H este ortocentrul triunghiului AEF . Problema 5. Punctele planului se colorează cu n ≥ 3 culori date. Să se arate că putem găsi întotdeauna un triunghi având ortocentrul diferit colorat faţă de fiecare din vârfurile triunghiului. Soluţie.Alegem punctele necoliniare A, B, C de culori diferite. a)Dacă triunghiul ABC nu este dreptunghic considerăm H ortocentrul său. Distingem cazurile: 1) culoarea lui H diferă de culorile vârfurilor A, B, C ; în acest caz problema este rezolvată. 2) H este la fel colorat ca unul dintre vârfuri (fie acesta A ); cum C este ortocentrul ΔAHB şi C nu are aceeaşi culoare cu A, H , B problema este rezolvată. b)Dacă triunghiul ABC este dreptunghic (în A ) alegem M un punct pe înălţimea din A în interiorul triunghiului ABC . Dacă M este colorat diferit de B şi C alegem triunghiul nedreptunghic MBC şi suntem în cazul a). Dacă M are (de exemplu) culoarea lui B alegem triunghiul MAC şi suntem în cazul a). 2

tri n

Atunci segmentele

Soluţie.

o. ro

mijloacele segmentelor [ AH ] , [ BH ] , [CH ] . Atunci cele nouă puncte sunt situate pe acelaşi cerc (cercul lui Euler). Soluţia 1. A1 B1 şi A′′B ′′ fiind linii mijlocii în ΔAHB respectiv ΔACB se obţine că A1B1 A′′B ′′ este paralelogram (1) .

În încheiere propunem spre studiu următoarele aplicaţii:

1). Se consideră un cerc de diametru [ AB ] şi M un punct interior

cercului, M ∉ [ AB ] . Fie N şi P punctele de intersecţie ale dreptelor

AM respectiv BM cu cercul şi {C} = AP ∩ BN . Atunci MC ⊥ AB. 2). Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC şi H ortocentrul său. Atunci AH ⋅ BC + BH ⋅ AC + CH ⋅ AB = 4 ⋅ Aria ( ΔABC ) .

Fie

ABC

triunghi

ascuţitunghic

AA′ ⊥ ( BC ) , A′ ∈ ( BC ) , BB′ ⊥ ( AC ) , B′ ∈ ( AC ) , m ( ACB ) = 60

Generalizarea unei probleme de concurs

o. ro

3).

Nicolae Stăniloiu

şi

m ( BB′A′ ) = 30 . Atunci triunghiul ABC este echilateral. 4). Fie M un punct interior unui triunghi ABC astfel încât simetricele lui M faţă de laturile triunghiului sunt situate pe cercul circumscris triunghiului. Atunci M este ortocentrul triunghiului. 5). În triunghiul ascuţitunghic ABC , fie O centrul cercului circumscris, H ortocentrul triunghiului, iar M mijlocul lui [ AH ] . Dacă E este mijlocul lui [ BC ] şi ME ∩ OH = { N }

OC . 2 6). Fie H ortocentrul triunghiului ascuţitunghic ABC şi D intersecţia dreptei AH cu cercul circumscris triunghiului. Arătaţi că DH = DB dacă şi numai dacă m ( ACB ) = 60 . 7). Fie pătratul ABCD şi punctele E şi F în exteriorul pătratului astfel încât triunghiurile ABE şi BCF să fie echilaterale. Fie M mijlocul lui [ DE ] şi {H } = CE ∩ DB. Atunci A, M , H , F sunt coliniare. 8). Fie BB′C ′C un pătrat ,iar ABC un triunghi construit în xeteriorul pătratului. Să se arate că perpendiculara din B pe AC ′ , perpendiculara din C pe AB ′ şi înălţimea AA′ a triunghiului ABC sunt concurente.

z1 − z 2 + 2 z 3 = 2 z1

z 2 − z 3 + 2 z1 = 2 z 2 z 3 − z1 + 2 z 2 = 2 z 3

Să se arate că z1 = z 2 = z 3 . Citind această problemă mi-am adus aminte că printre dosarele cu probleme personale,cu încercări şi căutări proprii, există de vreo 10 ani următoarea problemă: Fie z1 , z 2 , z 3 trei numere complexe care satisfac relaţiile:

tri n

atunci MN =

La concursul Victor Vâlcovici din anul acesta (2008) la clasa a X-a a fost propusă sub semnătura domnului profesor Laurenţiu Panaitopol următoarea problemă: 1. Fie z1 , z 2 , z 3 trei numere complexe care satisfac relaţiile:

z1 + z 2 − z 3 = z 3

z 2 + z 3 − z 1 = z1

z 3 + z1 − z 2 = z 2

Bibliografie:

1. Gheorghe Ţiţeica –Probleme de geometrie, Editura Tehnică Bucureşti. 2. Colecţia Gazeta Matematică.

Profesoară, Grupul Şcolar Industrial Tismana, Gorj Profesor, Colegiul Naţional „Ecaterina Teodoroiu”,Gorj

Să se arate că z1 = z 2 = z 3 . Tot printre acele multe hârtii, uitate câteodată, există însă şi următoarea generalizare, care ni se pare demnă de luat în seamă: G1. Fie z1 , z 2 , z 3 trei numere complexe. Dacă α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 , β 3 sunt numere reale astfel încât: α 1 + α 2 + α 3 = β1 + β 2 + β 3 ,

α 1α 2 + α 1α 3 + α 2α 3 ≠ β1 β 2 + β1 β 3 + β 2 β 3 şi α 1 z1 + α 2 z 2 + α 3 z 3 = β 1 z1 + β 2 z 2 + β 3 z 3 α 2 z 1 + α 3 z 2 + α 1 z 3 = β 2 z1 + β 3 z 2 + β 1 z 3 α 3 z1 + α 1 z 2 + α 2 z 3 = β 3 z1 + β 1 z 2 + β 2 z 3 . Atunci z1 = z 2 = z 3 .

Vom da soluţia acestei generalizări urmând să prezentăm apoi o altă generalizare a acestei probleme. Vom evalua expresia: Eα1α 2α 3 ( z1 , z 2 , z 3 ) = α 1 z1 + α 2 z 2 + α 3 z 3 . 2

(

)

Avem: Eα1α 2α3 ( z1 , z2 , z3 ) = (α1 z1 + α 2 z2 + α 3 z3 ) α1 z1 + α 2 z2 + α 3 z3 = 2

(

)

(

)

(

)

Observăm că egalităţile din ipoteză sunt echivalente cu: Eα1α 2α 3 ( z1 , z 2 , z 3 ) = E β1β 2 β 3 ( z1 , z 2 , z 3 ) (1)

Eα 2α 3α1 ( z1 , z 2 , z 3 ) = E β 2 β3β1 ( z1 , z 2 , z 3 )

(2)

Eα3α1α 2 (z1 , z2 , z3 ) = Eβ3β1β2 (z1 , z2 , z3 )

(3)

(α

)(

)

2 1

+ α 22 + α32 z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 +

(

2 1

(

+ (α1α2 + α1α3 + α2α3 ) z1 z2 + z2 z1 + z1 z3 + z3 z1 + z2 z3 + z3 z2

)(

)

= β + β + β z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + 2 2

2 3

(

+ (β1β2 + β1β3 + β2 β3 ) z1 z2 + z2 z1 + z1 z3 + z3 z1 + z2 z3 + z3 z2 Din egalitatea α 1 + α 2 + α 3 = β 1 + β 2 + β 3 , rezultă:

) )

(4)

α12 +α22 +α32 − β12 − β22 − β32 = 2(β1β2 + β1β3 + β2β3 −α1α2 −α1α3 −α2α3 )

Ţinând cont de relaţia anterioară ,relaţia (4) devine:

(

)

2 z1 z1 + z 2 z 2 + z 3 z 3 − z1 z 2 − z 2 z1 − z1 z 3 − z 3 z1 − z 2 z 3 − z 3 z 2 sau: 2

z1 − z 2 + z 2 − z 3 + z 3 − z1 = 0 sau z1 = z 2 = z 3 .

Maria Iancu Unghiurile reprezintă elementele fundamentale din geometria spaţiului euclidian şi tematica unghiurilor propune probleme de mare fineţe şi dificultate.Din considerente de ordin metodic, voi aborda tema dupa cum urmează: A). Unghiul a două drepte în spaţiu (în general necoplanare); B). Unghiul unei drepte cu un plan ; C). Unghiuri diedre. Unghiul a două plane. În cadrul fiecarei secţiuni voi prezenta diverse metode de aflare a măsurii unghiurilor, pe care le voi ilustra cu ajutorul unor probleme rezolvate. Sunt de părere că prin determinarea unui unghi trebuie să întelegem construirea lui, justificarea construcţiei făcute şi apoi aflarea măsurii acelui unghi. A. Unghiul a două drepte în spaţiu Definiţie 1. Fie d şi g două drepte în general necoplanare. Se numeşte unghiul dreptelor d şi g, unghiul ascuţit(cel mult drept) format în orice punct P al spaţiului, prin ducerea de paralele la dreptele date. Observaţie 1. Unghiul a două drepte d şi g, nu este o figură geometrică unic determinată, dar măsura unghiului celor două drepte este un număr bine precizat. Definiţie 2. Două drepte d şi g se numesc perpendiculare (ortogonale), dacă măsura unghiului dintre ele are 90 . Metode. Determinarea unghiului a două drepte în spaţiu poate fi realizată prin metode specifice geometriei plane şi prin metode proprii geometriei spaţiului care sunt consecinţe ale definiţiei, după cum urmează : M1). Dacă dreptele d şi g se dovedesc a fi coplanare şi neparalele, unghiul lor se determină “încadrându-le”, de regulă, într-un triunghi şi facând apel la geometria triunghiului respectiv. Exemplu . A1 ) Prisma dreaptă regulată ABCDA/ B / C / D / are latura

tri n

Din însumarea relaţiilor (1), (2) şi (3) în formă desfăşurată obţinem:

o. ro

α12 z1 +α22 z2 +α32 z3 +αα 1 2 z1 z2 + z1z2 +αα 1 3 z1 z3 + z1z3 +α2α3 z2 z3 + z2z3

Metode de rezolvare a problemelor cu unghiuri în spaţiu

G2. Dacă z1 , z 2 , ..., z n sunt n numere complexe,

α 1 , α 2 , ..., α n , β1 , β 2 , ..., β n sunt numere reale astfel încât: α 1 + α 2 + ... + α n = β1 + β 2 + ... + β n , ∑ α iα j ≠ ∑ β i β j şi i< j ≤n

i< j ≤n

⎧ Eα1α 2 ...α n (z1 , z 2 ,..., z n ) = α1 z1 + α 2 z 2 + ... + α n z n ⎪ ⎪ Eα1α 2 ...α n (z1 , z 2 ,..., z n ) = Eβ1β 2 ...β n (z1 , z 2 ,..., z n ) ⎪ ⎨ Eα 2α 3 ...α nα1 (z1 , z 2 ,..., z n ) = Eβ 2 β 3 ...β n β1 ( z1 , z 2 ,..., z n ) ⎪ ⎪........................................................................... ⎪ Eα α α ...α (z1 , z 2 ,..., z n ) = Eβ β β ...β ( z1 , z 2 ,..., z n ) n 1 2 n −1 ⎩ n 1 2 n−1 atunci: z1 = z 2 = ... = z n

Profesor, Bocşa

(

bazei AB = a şi înălţimea AA/ = 2a . Aflaţi MD / , unde M ∈ BD / ştiind că m ( AMC ) = 900. Soluţie. Deoarece m ( AMC ) = 900 ⇒ ΔMAC dr.şi în ΔMAC :

)

ipotenuzei ⇒ MO = OA = OB =

BD . 2

În ΔMBD, MO = medianǎ

⇒ A

BD ⇒ ΔMBD = Δ dreptunghic cu ipotenuza BD ⇒ 2 DM ⊥ MB sau DM ⊥ BD′ . Aplicând Teorema catetei în D′D 2 4a 2 ⇒ D′M = (1) . D′B D′B

Din ΔD′DB ⇒ D′B = a 6 ; înlocuind în (1) avem : D′M =

în ΔND′A′ ⇒ A′N 2 = a2 +

h2 4

( 2 ) .Din (1)

şi ( 2 ) se obţine h = 2a .

M3). Dacă dreptele d şi g nu sunt coplanare,” se încadrează” cele două drepte în două plane care au o dreaptă comună h şi printr-un punct ales convenabil al acestei drepte h se duce o paralelă d1 la dreapta d şi o paralelă g1 la dreapta g şi apoi se află unghiul dintre d1 şi g1 care reprezintă unghiul dintre dreptele d şi g. O redactare corectă a unei astfel de probleme presupune parcurgerea etapelor prezentate anterior. A3 ) Pe planul pătratului ABCD de latură AB = 2a cm se ridică,

şi MO =

ΔD′DB ⇒ D′D 2 = D′M ⋅ D′B ⇒ D′M =

′C ′ = a 2 (1) . Aplicând Teorema lui Pitagora pentru A′N NA′ = AB

o. ro

AO = OC , unde AC ∩ BD = {O} ⇒ MO este mediana coresounzǎtoare

2a 6

. 3 M2). Dacă dreptele d şi g nu sunt coplanare, printr-un punct ales convenabil pe dreapta d, se duce o paralelă h la dreapta g şi apoi se determină unghiul dintre d şi h, care reprezintă unghiul dintre dreptele d şi g. O redactare corectă a unei astfel de probleme presupune parcurgerea unor etape: (E1). Construcţia unghiului (uneori este făcută deja !). (E2). Justificarea construcţiei făcute. (E3). Aflarea măsurii acelui unghi. Exemplu. A2 ) Pe planul pătratului ABCD de latură a cm, se ridică de

tri n

de aceeaşi parte a planului, perpendicularele AA′ = BB′ = CC ′ = DD′ Dacă A′C ⊥ C ′B , arătaţi că ABCDA′B′C ′D′ este cub. Soluţie.Vom construi unghiul dintre dreptele necoplanare A′C şi C ′B A′C ⊂ ( ACC ′ ) şi C ′B ⊂ ( BCC ′ ) , iar ( ACC ′ ) ∩ ( BCC ′ ) = CC ′

(E1) : Fie M mijlocul lui ( CC ′ ) .Prin M construim paralele la dreptele

BC ′ şi A′C .(E2) : Fie A′C ′ ∩ B′D′ = {O′} şi AC ∩ BD = {O} . O′M este linie mijlocie în ΔA′CC ′ ⇒ O′M A′C . Construim MN BC ′ , unde N mijloc ( BC ) ⇒ ( A′C ; C ′B ) ≡

aceeaşi parte a planului perpendicularele AA′ = BB′ = CC′ = DD′ = h . Dacă M este mijlocul segmentului ( AA′ ) şi N mijlocul segmentului

( DD′ ) , iar unghiul dintre dreptele h = 2a .

MD şi NC ′ are 60 , arătaţi că

mijlocul lui ( DD′ ) construim

NA′ MD .(E2) : Din A′M ND şi A′M = ND ⇒ A′NDM paralelogram ⇒ NA′ MD ⇒ ( MD; NC ) ≡ ( NA′; NC ′ ) ≡ A′NC ′

⇒ m ( A′NC ′ ) = 60 .(E3) : ΔND′A′ ≡ ΔND′C′ ( C.C.) ⇒ NA′ = NC′ ⇒ ΔNA′C ′ = Δ isoscel şi m ( A′NC ′ ) = 60 ⇒ ΔNA′C ′ = Δ echilateral

O′MN ⇒ m ( O′MN ) = 90

(E3) : Cu teorema lui Pitagora, avem: ΔMC ′O′ ⇒ O′M 2 =

C ′C 2 + 2a 2 4

C ′C 2 + a2 ( 2) . 4 ' C'′N 2 = O′O 2 + ON 2 ⇒ O′N 2 = C ′C 2 + a 2 ( 3) . Din ΔBO′ON ⇒ O

(1) , iar în ΔMCN ⇒ MN 2 =

Soluţie. NC ′ ⊂ ( DCC ′ ) şi MD ⊂ ( ADD′ ) , iar dreapta comună celor

două plane este DD′ .(E1) : Prin N ,

( O′M ; MN ) ≡

Deoarece ΔO′MN este dreptunghic ⇒ O′N 2 = O′M 2 + MN 2 . Din

(1) , ( 2 ) , ( 3) , obţinem : C ′C 2 + a 2

⇒ C ′C = 2a ⇒ CABCDA′B′C ′D′ cub. B (VaDurma)

C ′C 2 C ′C 2 + 2a 2 + + a2 4 4

Profesor, Şcoala “Romul Ladea”, Oraviţa

Tudor Deaconu

tri n

Curriculum-ul elaborat în şcoală, opţionalul, oferă posibilitatea manifestării creativităţii cadrului didactic, permiţândui acestuia să-şi conceapă obiective, conţinuturi, strategii didactice proprii, experimente, care să răspundă problematicii diversităţii în curriculum. În cadrul orelor de la clasă, cât şi în cadrul activităţilor desfăşurate în cadrul Centrului de excelenţă am căutat să-i mobilizez şi să-i motivez pe elevii mei spre a îndrăgi matematica. …Şi pentru că ei îndrăgesc matematica, iar părinţii lor au optat pentru această disciplină, am inclus în schema orară opţionalul

7. enunţate discursiv şi să le rezolve; 8. Să exploreze modalităţi practice de compunere/descompunere a pătratului Tangram, utilizând tanurile; 9. Să colecteze date şi să le prelucreze după criterii date. III.Formarea şi dezvoltarea capacităţii de comunicare, utilizând limbajul matematic: 10. Să descrie clar şi concis demersurile întreprinse în descoperirea soluţiilor; 11. Să obţină informaţiile dorite, adresând întrebări incisive şi pertinente, care pot fi probate şi la care se pot da răspunsuri precise. IV. Dezvoltarea interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate: 1. Să manifeste un comportament adecvat, în relaţiile cu colegii dintr-un grup de lucru; 2. Să manifeste disponibilitate pentru a învăţa de la alţii şi pentru a-i ajuta pe ceilalţi să înveţe; 3. Să manifeste omogenitate atitudinală.

o. ro

Diversitate în curriculumul şcolar-opţional de matematicǎ

„CURIOZITĂŢI MATEMATICE” la clasa a V-a. Proiectul curricular l-am întocmit pentru întregul an şcolar,

Prin obiectivele menţionate mai sus, am stabilit conţinuturile învăţării, plecând de la premisa că ora de opţional nu trebuie să se confunde/ suprapună cu cea de matematică. Consider că opţionalul poate deveni un mod eficient de a trezi interesul şi curiozitatea elevilor pentru această disciplină, experimentând ceva cunoscut în alte situaţii date şi nici de cum o aprofundare sau extindere a programei şi manualului. Eficienţa maximă a orei de opţional a fost asigurată de convergenţa activităţilor didactice cu cea mai liberă formă de instruire care este jocul şi experimentul. Eventualele fenomene anomice, care ar fi putut surveni din cauza jocului matematic, au fost prevenite prin transformarea învăţării prin joc într-un proces constructiv de experimentare, în centrul căruia s-a aflat tot timpul elevul. Am constatat că acesta învaţă modelul, şi-l fixează exersând, experimentează pe alte exemple, descoperă soluţiile şi transferă procedeele de lucru. Nu trebuie uitat faptul că matematica este o disciplină bazată pe reflecţie, iar elevul nu trebuie lăsat să se limiteze la contemplarea situaţiei în care a fost pus. El reflectează asupra problemelor propuse, imaginează soluţii, experimentează, îşi confruntă opiniile cu cele ale colegilor săi, corectează eventualele erori.

stipulând în rubrica observaţii că, pe parcursul derulării în timp a activităţii didactice, el poate suferi modificări generate de evoluţia/involuţia rezultatelor obţinute de elevi, dar şi pe baza experimentelor aplicate şi a rezultatelor acestora. Organizarea tematică a orizontului referenţial am realizat-o respectând structura şi formatul de proiectare al unui opţional la nivelul disciplinei care cuprinde: obiective cadru, obiective de referinţă, activităţi de învăţare, evaluare, listă de conţinuturi. În lipsa unui model care să fundamenteze desfăşurarea unui opţional, am realizat proiectarea pornind de la obiectivele-cadru ale disciplinei matematică, din care am dedus aplicaţiile practice, experimentele şi obiectivele de referinţă, după cum urmează: I.Cunoaşterea şi utilizarea conceptelor specifice matematicii:

1. Să utilizeze conceptele specifice matematicii în scopul obţinerii de informaţii noi; 2. Să analizeze şi să facă conexiuni logice între informaţii; 3. Să descopere, să recunoască şi să utilizeze corespondenţe simple şi succesiuni de numere asociate după criterii date. II.Dezvoltarea capacităţilor de explorare/investigare şi rezolvare a problemelor: 4. Să identifice problemele din contextul în care acestea apar în viaţă sau în diverse segmente ale cunoaşterii; 5. Să descopere tehnici adecvate de rezolvare a problemelor; 6. Să modeleze matematic, pe baza analizei logice, probleme

Operaţii cu numere naturale Operaţii cu rezultate „codificate” Pătrate perfecte Pătratele magice: pătratul Tangram Curiozităţi numerice: compararea puterilor Şirul numerelor naturale: operaţii şi operatori Procedee de calcul rapid al unor sume de mai mulţi termeni Funcţii numerice: probleme de numărare Principiul cutiei (Dirichlet) La graniţa dintre matematică şi logică: scurte proze cu tâlc matematic 11. Mulţimi finite şi mulţimi infinite: mulţimea divizorilor şi mulţimea multiplilor unui număr natural 12. Operaţii cu mulţimi de numere 13. Numere întregi 14. Numere raţionale 15. Operaţii cu numere raţionale 16. Periodicitate 17. Aproximări zecimale 18. Localizarea în plan a unui punct de coordonate întregi 19. Unităţi de măsură 20. Transformări. Tipuri de activităţi de învăţare - exerciţii-joc pe tema operaţiilor cu numere naturale; - alegerea drumului unui labirint cu mai multe alternative de ieşire; - stabilirea unei corespondenţe între un set de exerciţii şi „codul” ce

tri n

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

exerciţii-joc de compunere a unor imagini figurale, prin folosirea tanurilor; - transpunerea unor situaţii problemă în limbaj matematic; rezolvarea lor; - alcătuirea de tabele cu două „intrări” şi aflarea soluţiei; - exerciţii de identificarea problemei din contextul în care aceasta apare şi rezolvarea ei; - exerciţii de „modelare” matematică, pe baza analizei logice, a problemelor enunţate discursiv şi rezolvarea lor; - transpunerea situaţiilor-problemă în limbaj matematic; rezolvarea lor. Concluzii În centrul complexului de obiective pe care le implică activităţile cu conţinut matematic, rezolvarea problemelor rămâne o activitate de profunzime cu caracter de analiză şi sinteză superioare. Rezolvarea de probleme pune la încercare, în cel mai înalt grad capacităţile intelectuale ale copiilor, le solicită toate disponibilităţile psihice, în general inteligenţa. În activitatea de rezolvare de probleme care a stat la baza conţinuturilor învăţării, o atenţie deosebită am acordat înţelegerii datelor acestora, pentru a-l ajuta pe elev să construiască judecăţile şi raţionamentul care conduce la rezolvarea lor. Primele probleme introduse în activităţile matematice au fost cele a căror rezolvare s-a realizat la un nivel concret cu date şi acţiuni din viaţa de zi cu zi. La baza găsirii soluţiei acestor probleme au stat intuiţiile secundare, elementele componente ale inteligenţelor multiple, achiziţiile cognitive constituite în procesul de educaţie ştiinţifică, experimentul asupra unor activităţi cu conţinut matematic. Aceste probleme rezolvate cu elevii au avut caracter practic – concret, acţiunea fiind ilustrată prin experimente executate de copii, cărora le-am oferit un bogat material demonstrativ în contextul diversităţii în curriculum. Se ştie că efortul pe care îl face copilul în rezolvarea conştientă a problemelor presupune o mare mobilitate a proceselor psihice cognitive. Cea mai solicitată şi antrenată este gândirea, prin operaţiile logice de analiză, sinteză, comparaţie, abstractizare şi generalizare. Prin descoperirea căii de rezolvare a problemelor se sporeşte flexibilitatea gândirii, se educă perspicacitatea, spiritul de iniţiativă, lucrul în echipă şi încrederea în forţele proprii în condiţiile în care diversitatea devine o componentă a vieţii noastre cotidiene.

o. ro

Conţinuturile învăţării:

conduce la obţinerea unei secvenţe literale;

exerciţii de determinare a numerelor dintr-un careu, respectând constanta pătratului; exerciţii de descoperire a unor proprietăţi mai „ciudate” ale numerelor: 9, 37, 45, 100; invenţii de reguli pentru compunerea şirurilor; completarea unor secvenţe numerice date descoperind criteriul; exerciţii de calculare a unei sume de mai mulţi termeni; deducerea algoritmului şi aplicarea lui pe segmente din şirul numerelor naturale; tabele, diagrame şi grafice; exerciţii de „ghicire” a regulei; determinarea elementelor din domeniu/co-domeniu, când se cunosc elementele co-domeniului/domeniului şi regula de corespondenţă;

Profesor, Director CCD Caraş-Severin

Nicolae Stǎniloiu Calculele duse cu puţin efort şi mare atenţie pentru soluţionarea problemei X.113 din RMCS nr.24, prezentate în acest numǎr al revistei, au condus la redactarea acestei note. Sunt bine cunoscute egalităţi ca:

∑ Cni = 2n , ∀n ∈

. 2)

i =0 n

∑ i(i − 1)C i=2

i n

∑ iC i =1

= n(n − 1)2

n−2

i n

= n2

n −1

∑ P(i )C

i =0

= Qk (n )2 n − k .

∑ P(i )C i =0

i n

= F (n )2 n − p

Demonstraţie: Din propoziţia 1 există α j astfel încât: P(i ) = şi atunci:

⎛

⎞

∑α Q (i )

i =0

⎝ j =0

⎠

i n

j =0

i =0

j =0

∑ P (i ) C = ∑ ⎜ ∑α Q (i ) ⎟ C = ∑α ∑ Q (i ) C i n

i n

. Evident P(i ) = i 3 şi grad ( P ) = 3 .

∑i C 3

i n

= F (n )2 n −3 , dăm lui n valorile 3, 4, 5 şi 6 şi

⎧3 a + 3 b + 3c + d = 54 ⎪ 3 2 ⎪4 a + 4 b + 4c + d = 112 obţinem: ⎨ 3 2 ⎪5 a + 5 b + 5c + d = 200 ⎪6 3 a + 6 2 b + 6c + d = 324 ⎩ 2

a = 1, b = 3, c = 0, d = 0 şi deci:

.n n

polinom F de grad cel mult p astfel încât:

Determinantul sistemului de mai sus este de tip Vandermonde iar rezolvarea acestuia nu ar trebui sa fie o problemă. Se obţine

Observaţie: În sumele anterioare combinările care apar cu indice superior negativ le considerăm nule. Propoziţia 3: Dacă P este un polinom de grad p atunci există un

unde grad ( P ) = p .

Presupunem F ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . i =0

= Qk (n )2 n− k , pentru orice n ∈ .

i−k n−k

∑i C i =1

cere calculul sumei:

Demonstraţie: Se observă că: Qk (i )C ni = Qk (n )C ni −−kk şi atunci: i n

i n

= F (n )2 n − p luând pentru n suficiente valori.

În egalitatea:

Obs: Propoziţia precedentă exprimă faptul că polinoamele Qi , i = 0, p este o bază pentru spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult p.

i n

i =0

∑ P(i )C

Problema de care aminteam la început (sursa cǎutǎrilor noastre)

, unde

constantele reale α i astfel încât: P = ∑ α i Qi .

i n

∑ P(i )C i =0

i n

∑ Q (i )C = ∑ Q (n )C

j =0

Fie polinoamele Q0 ( x ) = 1, Qi ( x ) = x ( x − 1) ... ( x − i + 1) , ( ∀ ) i ≥ 1 . Propoziţia 1: Dacă P este un polinom de grad p ∈ , atunci există

i =0

j =0

Propoziţia 3 ne dă dreptul să elaborăm următoarea metodă de calcul

încât

grad ( P ) = p. Mai întâi vom enunţa un rezultat fără să-l mai demonstrǎm.

i =0

, ∀n ∈ , n ≥ 2 . Vom da o metodă de

i =0

∑ Q (i )C

Se încearcă determinarea polinomului F de grad p astfel

calcul pentru sume mai generale, de forma:

j =0

al sumelor de tipul:

, ∀n ∈ , n ≥ 1 .

Propoziţia 2:

= ∑α jQj ( n) 2n− j = 2n− p ∑α jQj ( n) 2p− j ⇒ F ( x) = ∑α jQj ( x) 2p− j , gr ( F ) ≤ p

tri n

o. ro

Calculul unor sume cu combinări

i n

∑i C i =0

i n

(

= 2 n −3 n 3 + 3n 2 n

Ca metodă alternativă pentru calculul sumei

∑i C i =0

metodă la nivelul clasei XI-a: dezvoltarea

)

i n

amintim o

∑ x C = (1 + x ) i =0

i n

derivează o data în raport cu x iar egalitatea obţinută se înmulţeste cu x, apoi se repetă procedeul de două ori şi în final se ia x = 1. Profesor, Bocşa

Lucian Dragomir I. Definiţii, notaţii, proprietăţi. ● Dacă un număr real a are scrierea zecimală a = a0 , a1a2 a3 ... (evident a0 ∈

şi a1 , a2 , a3 ,... ∈ {0,1, 2,...,9} ), atunci partea întreagă a lui a se

şi [ a ] = [b ] , atunci a − b < 1. ( Reciproca este falsă; e

1 1 suficient un contraexemplu: a = , b = − ) 3 3 P8. {a} = {b} ⇔ ( a − b ) ∈ , ∀a, b ∈ .

P9. [ a ] + [b ] ≤ [ a + b ] ≤ [ a ] + [b ] + 1, ∀a, b ∈ .

1⎤ ⎡ P10. [ a ] + ⎢ a + ⎥ = [ 2a ] , ∀a ∈ . (identitatea lui Hermite; de remarcat că 2⎦ ⎣ aceasta admite o generalizare destul de des utilizată: 1 2 n − 1⎤ = [ na ] , ∀a ∈ , n ∈ ∗ . ) [ a ] + ⎡⎢ a + ⎤⎥ + ⎡⎢ a + ⎤⎥ + ... + ⎡⎢ a + n⎦ ⎣ n⎦ n ⎥⎦ ⎣ ⎣ II. Probleme rezolvate. 1. Să se arate că [ na ] = [ nb ] , ∀n ∈ dacă şi numai dacă a = b. (Gh.Andrei, OJ Constanţa, 1996) Soluţie: Dacă a = b prima egalitate este evidentă. Presupunând că a ≠ b şi [ na ] = [ nb] , ∀n ∈ ,obţinem

tri n

, dacă a ≥ 0 ⎧ a . notează cu [ a ] şi se defineşte prin [ a ] = ⎨ 0 ⎩a0 − 1 , dacă a < 0 ● Mai simplu de reţinut: partea întreagă a lui a este cel mai mare număr întreg care nu îl depăşeşte pe a (cel mult egal cu a); dacă facem apel la reprezentarea pe axă a numerelor reale, atunci [ a ] este primul număr întreg din stânga lui a . ● În baza axiomei lui Arhimede, se poate spune şi: pentru orice număr real a , există un unic număr întreg, notat cu [ a ] , astfel încât

P7. Dacă a, b ∈

o. ro

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

[a] ≤ a < [a] + 1 ;

aşadar,pentru orice a ∈ avem: [ a ] = k ∈ dacă şi numai dacă k ≤ a < k + 1. ● Prin definiţie, partea fracţionară a numărului real a este {a} = a − [ a ] ;

evident, {a} ∈ [ 0,1) . ● Exemple: [1, 25] = 1;[7,89] = 7;[ −3, 28] = −4; ⎡⎣ 3 ⎤⎦ = 1; ⎡⎣ − 5 ⎤⎦ = −3; ⎧7 ⎫ ⎨ ⎬ = 0,5;{7} = 0;{−3, 45} = 0,55. ⎩2⎭ ● Vom trece în revistă câteva proprietăţi şi rezultate utile, des folosite în rezolvarea problemelor: P1. a − 1 < [ a ] ≤ a , ∀a ∈ .

na − {na} = nb − {nb} ⇒ n(a − b) = {na} − {nb} ∈ ( −1,1) , ∀n ∈ . Dacă a > b , membrul drept al ultimei egalităţi poate fi oricât de mare, contradicţie. Analog dacă a < b , aşadar a = b. □ 2. Dacă a, b ∈ ,să se arate că {a} + {b} = 1 dacă şi numai dacă

P2. a < k ⇔ [ a ] < k , ∀a ∈ , k ∈ . P3. [ k + α ] = k , ∀k ∈ ,α ∈ [ 0,1) .

P4. [ a + k ] = [ a ] + k , ∀a ∈ , k ∈ . P5. {a + k } = {a} , ∀a ∈ , k ∈ .

P6. ⎡⎣[ a ]⎤⎦ = [ a ] ,{{a}} = {a} , ⎡⎣{a}⎤⎦ = {[ a ]} = 0, ∀a ∈ .

(a + b) ∈

şi a, b ∈

Soluţie: Dacă a, b ∈

\ . (Gh.Andrei) şi ( a + b ) ∈ ,atunci {a} + {b} ∈ [ 0, 2 ) ; cum

{a} + {b} = a − [ a ] + b − [b] ∈ ,deducem că {a} + {b} ∈ {0,1}. Deoarece {a} + {b} ≠ 0 (în caz contrar am ajunge la a, b ∈ , contradicţie), obţinem {a} + {b} = 1 .Reciproc, dacă {a} + {b} = 1 , avem {a} ≠ 0,{b} ≠ 0 şi,din 1 = {a} + {b} = a − [ a ] + b − [b ] , deducem ( a + b ) ∈ .□ 3. a) Să se dea un exemplu de număr real t pentru care {t} + {2t} > 1. ⎡ 4 x − 1 ⎤ 3x + 1 b) Să se rezolve ecuaţia ⎢ ⎥= 4 . ⎣ 3 ⎦

{ x} + { y} ∈ [0, 2 ) , deducem că { x} + { y} = 1 şi astfel avem şi [ x ] + [ y ] = 1 . Cazul [ x ] = 0, [ y ] = 1 este exclus datorită primei ecuaţii, aşadar rămâne doar [ x ] = 1, [ y ] = 0 , de unde obţinem imediat x = 1,5 şi y = 0,5 . □

o. ro

7 (verificare imediată); b) dacă 5 3x + 1 4k − 1 = k ∈ , atunci avem x = (1) .Pe de altă parte,din 4 3 3x + 1 4 x − 1 3x + 1 ⎡ 19 ⎞ ≤ < + 1 se ajunge imediat la x ∈ ⎢1, ⎟ . Folosind acum 4 3 4 ⎣ 7⎠ 4k − 1 19 16 (1), deducem 1 ≤ < ,de unde 1 ≤ k < ; cum însă k ∈ , 3 7 7 ⎧ 7⎫ obţinem k ∈ {1, 2} şi, corespunzător, x ∈ ⎨1, ⎬ . □ ⎩ 3⎭ 4. a) Să se dea un exemplu de număr raţional a ∈ (1, ∞ ) pentru care

6. Să se calculeze partea întreagă a numărului 1 1 1 . A = 1 + 2 + 2 + ... + 2 3 20082 Soluţie: Această sumă ar trebui să fie o “obişnuită a casei” pentru cei de

clasa a VI-a chiar; se foloseşte inegalitatea k 2 > k (k − 1) , adevărată 1 1 1 1 = − , ∀ k ≥ 2 . Dăm valori ∀k ∈ , k ≥ 2 , aşadar 2 < k ( k − 1) k k − 1 k acum lui k, anume 2,3,..., 2008 şi însumăm, membru cu membru, inegalităţile obţinute, apoi adunăm(tot în fiecare membru) 1; vom ajunge 1 imediat la: 1 < A < 2 − < 2 . Evident, [ A] = 1. □ 2008 ⎡x⎤ 7. a) Să se arate că nu există numere reale x pentru care ⎢ ⎥ = x 2 + 1. ⎣2⎦ ⎡ y⎤ b) Să se determine numerele reale y pentru care ⎢ ⎥ = y 2 . ⎣2⎦ (Lucian Dragomir) Soluţie: a) Dacă x < 0 , membrul stâng este negativ, iar cel drept strict pozitiv; evident, x = 0 nu verifică, iar dacă x ∈ ( 0, 2 ) , membrul stâng este 0, pe când cel drept este supraunitar; în general acum, dacă ⎡x⎤ x ∈ [ 2k , 2k + 2 ) , k ∈ ∗ , avem ⎢ ⎥ = k şi x 2 + 1 ≥ 4k 2 > k , ∀k ∈ ∗ , ⎣2⎦ aşadar ecuaţia nu are soluţii reale; b) se observă soluţia y = 0 şi, printr-un raţionament asemănător cu cel anterior, se arată că nu mai există alte numere reale y care să satisfacă egalitatea din enunţ. □ 8. Să se găsească perechile ordonate ( x, y ) de numere pozitive şi

tri n

Soluţie: a) De exemplu, t =

⎡a⎤ ⎡a⎤ ⎢ 3 ⎥ + ⎢ 5 ⎥ = 0. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b) Să se determine partea întreagă a numărului b = 3 + 5. ⎡ x + 1⎤ x − 1 c) Să se rezolve ecuaţia ⎢ ⎥= 5 . ⎣ 3 ⎦ Soluţie: a) Dacă a ≥ 3 ,egalitatea nu este posibilă;căutăm astfel a ∈ (1,3) ; 15 . b) Aproximări simple conduc la posibilul 14 rezultat [b ] = 3 (numărul b pare fi aproape 4, sau chiar îl depăşeşte?); încercăm astfel să arătăm că 3 < b < 4 ; prin ridicare la pătrat, aceasta este echivalentă cu : 9 < 8 + 2 15 < 16 ⇔ 1 < 2 15 < 8 ⇔ 1 < 60 < 64 , evident adevărat, aşadar x −1 = k ∈ conduce la x = 5k + 1∈ (1). Din [b] = 3 ; c) evident, 5 x −1 x +1 x −1 ⎡ 7⎞ ≤ < + 1 ajungem imediat la x ∈ ⎢ −4, ⎟ şi, ţinând cont de 2⎠ 5 3 5 ⎣ (1), obţinem x ∈ {−4,1} .□ 5. Să se determine numerele reale pozitive x şi y pentru care ⎪⎧ x + 2 [ y ] = 1,5 ⎨ ⎪⎩ y + 2 [ x ] = 2,5 Soluţie: Adunăm ecuaţiile sistemului dat şi ajungem la 3[ x ] + 3[ y ] + { x} + { y} = 4 ; deoarece x, y ≥ 0, x, y ∉ şi

e suficient de exemplu, a =

distincte pentru care x + y = 1,5 şi [ x − y ] + [ y − x ] = 0. (Lucian Dragomir) Soluţie: A doua egalitate din enunţ se poate scrie x − y − { x − y} + y − x − { y − x} = 0 , de unde { x − y} = { y − x} = 0 .

Folosind P.8.avem că ( x − y − y + x ) = 2( x − y ) ∈ , deci

că n + 1 ≤ n 2 + 3n < n + 2 şi astfel ⎡ n 2 + 3n ⎤ = n + 1, ∀n ∈ ⎣⎢ ⎦⎥ 10. Să se arate că partea fracţionară a numărului mai mică decât 0, 25.

∗

.□

4n 2 + n , n ∈

∗

,este

(Concurs Unirea,2003) Soluţie: Deoarece 2n < 4n 2 + n < 2n + 1, ∀n ∈ ⎡ 4n 2 + n ⎤ = 2n şi deci ⎢⎣ ⎥⎦

, avem că

n + n +1 + n + 2 + n + 3 , y = 4n + 6 .Prin ridicări la pătrat se 2 arată imediat că 4n + 5 ≤ n + n + 3 < 4n + 6 şi x=

4n + 5 ≤ n + 1 + n + 2 < 4n + 6 ,de unde ajungem la

4n + n − 2n. Rămâne de arătat

4n 2 + n − 2n < 0, 25 , ceea ce este echivalent cu

4n + 5 ≤ x < 4n + 6 = y ;deducem astfel că

⎡ 4n + 5 ⎤ ≤ [ x ] ≤ ⎡ 4n + 6 ⎤ = [ y ] . Deoarece 4n + 6 nu este pătrat ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ perfect(pătratele perfecte sunt de forma 4m sau 8 p + 1 ), rezultă

că

{ 4n + n } = 2

∗

k +1 < 1, ∀k ∈ , k ≥ 3 (inegalitate imediată), ajungem k la S = 1 + 1 + n − 1 = n + 1. □ 13. Dacă a, b, c, d sunt patru numere naturale consecutive nenule,să se arate că ⎡ a+ b+ c+ d⎤ ⎢ ⎥ = ⎡⎣ a + b + c + d ⎤⎦ . 2 ⎣ ⎦ (Dana Piciu,Concurs Gh.Ţiţeica,2006) Soluţie: Considerăm a = n, b = n + 1, c = n + 2, d = n + 3, n ∈ ∗ şi notăm 0<

tri n

9. Să se determine partea întreagă a numărului n 2 + 3n , n ∈ ∗ . (Concurs Florica T.Câmpan,2003) Soluţie: Deoarece n 2 + 2n + 1 ≤ n 2 + 3n < n 2 + 4n + 4, ∀n ∈ ∗ , deducem

Soluţie: Folosind P.4., avem imediat ⎡ 3⎤ ⎡ 4⎤ ⎡ n +1⎤ S = 1 + ⎡⎣ 2 ⎤⎦ + 1 + ⎢ ⎥ + 1 + ⎢ ⎥ + ... + 1 + ⎢ ⎥ ; deoarece ⎣ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ n ⎦

o. ro

k x − y = , k ∈ . Deoarece avem şi x + y = 1,5 , deducem imediat că 2 k +3 3− k . Cum însă x, y ≥ 0 ,ajungem la k ∈ {0,1, 2,3} . x= ,y= 4 4 Analizăm uşor aceste cazuri şi obţinem perechile cerute: ⎛ 1⎞ ⎛5 1⎞ ⎛3 ⎞ ⎜1, ⎟ , ⎜ , ⎟ , ⎜ ,0 ⎟ . □ ⎝ 2⎠ ⎝4 4⎠ ⎝ 2 ⎠

{ x} = 0 ⇒ x ∈

4n 2 + n < 0, 25 + 2n ⇔ 4n 2 + n < 4n 2 + n + 0,0625 , ultima inegalitate fiind evident adevărată. □ 11. Să se rezolve ecuaţia ⎡ x 2003 ⎤ + ⎡ x 2002 ⎤ + ... + ⎡ x 2 ⎤ + [ x ] = { x} − 1. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Concurs Ucraina,2003) Soluţie: Membrul stâng al ecuaţiei este număr întreg,deci , dacă x este o soluţie a ecuaţiei, avem { x} ∈ ;cum însă { x} ∈ [ 0,1) , ajungem la

.Ecuaţia devine astfel x 2003 + x 2002 + ... + x 2 + x + 1 = 0

⎡ 4n + 5 ⎤ = ⎡ 4n + 6 ⎤ , adică [ x ] = [ y ]. □ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 14. Să se calculeze suma S = ⎡⎣ 2 ⋅ 5 ⎤⎦ + ⎡⎣ 3 ⋅ 6 ⎤⎦ + ⎡⎣ 4 ⋅ 7 ⎤⎦ + ... + ⎡⎣ 100 ⋅ 103 ⎤⎦ . (OL Arad,2006)

Soluţie: Prin ridicări la pătrat se arată că n + 1 ≤ n(n + 3) < n + 2, ∀n ∈

∗

paranteză este strict pozitivă, se obţine unica soluţie a ecuaţiei x = −1. □ 12. Să se calculeze suma ⎡ 2 + 3 ⎤ ⎡3 + 4 ⎤ ⎡ n + n +1⎤ ∗ S = ⎡⎣1 + 2 ⎤⎦ + ⎢ ⎥+⎢ ⎥ + ... + ⎢ ⎥,n∈ . 2 3 n ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Concurs Reghin,2005)

şi deci ⎡⎣ n(n + 3) ⎤⎦ = n + 1, ∀n ∈ ∗ . Folosind acest rezultat, deducem imediat că S = 3 + 4 + 5 + ... + 101 = 5148. □ 15. a)Să se arate că n [ x ] ≤ [ nx ] , ∀x ∈ + , n ∈ . b) Să se determine toate numerele reale pozitive x pentru care [ x ] , 2 [ x ] , [ 2 x ] sunt numere naturale consecutive. (Mircea Fianu,OL Bucureşti,2002) Soluţie: a) [ nx ] = ⎡⎣ n [ x ] + n { x}⎤⎦ = n [ x ] + ⎡⎣ n { x}⎤⎦ ≥ n [ x ].

(

)

sau ( x + 1) x 2002 + x 2000 + ... + x 2 + 1 = 0. Deoarece suma din a doua

⎡100 ⎤ cu puterea a doua a lui 2 – sunt ⎢ 2 ⎥ = 25 de astfel de numere; dintre ⎣2 ⎦

⎡1 ⎞ la ⎡⎣ 2{ x}⎤⎦ = 1 , de unde x ∈ ⎢ ,1⎟ . Verificăm acum că toate aceste numere ⎣2 ⎠ satisfac condiţia din enunţ.□ ⎡k ⎤ 16. Să se arate că prin împărţirea lui k ∈ la n ∈ ∗ se obţine câtul ⎢ ⎥ şi ⎣n⎦ ⎧k ⎫ restul n ⋅ ⎨ ⎬ . ⎩n⎭ Soluţie: Notăm câtul şi restul cu q , respectiv r şi avem: nq + r k nq + n = < = q + 1, k = nq + r , cu 0 ≤ r < n . Deducem acum: q ≤ n n n ⎡k ⎤ ⎧ k ⎫ ⎛ k ⎡ k ⎤ ⎞ ⎛ nq + r ⎞ aşadar ⎢ ⎥ = q. Pe de altă parte, n ⋅ ⎨ ⎬ = n ⎜ − ⎢ ⎥ ⎟ = n ⎜ − q ⎟ = r. ⎩n ⎭ ⎝ n ⎣ n ⎦ ⎠ ⎝ n ⎠ ⎣n⎦

acestea, fiecare al doilea este divizibil cel puţin cu 23 . Raţionăm la fel în continuare, ţinem cont că 27 > 100 şi că fiecare factor al lui 100! care

impune să avem [ 2 x ] − 2 [ x ] = 1 şi astfel ajungem

este divizibil cu 2k , dar nu şi cu 2k +1 , ( k ∈ {1, 2,3, 4,5,6,} ) ,se socoteşte,

în modul indicat, de k ori ca fiind divizibil cu 2, 22 , 23 ,..., 2k . Exponentul ⎡100 ⎤ ⎡100 ⎤ ⎡100 ⎤ căutat este astfel ⎢ ⎥ + ⎢ 2 ⎥ + ... + ⎢ 6 ⎥ = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97. 2 ⎣ ⎦ ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦ Observaţie: În general, exponentul numărului prim p din descompunerea ⎡n⎤ ⎡ n ⎤ ⎡ n ⎤ în factori primi ai numărului n! este ⎢ ⎥ + ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 3 ⎥ + .... . □ ⎣ p ⎦ ⎣⎢ p ⎦⎥ ⎣⎢ p ⎦⎥

tri n

[ 2 x ] − 2 [ x ] ∈ {0,1} , se

o. ro

b) Pentru x > 0 avem aşadar [ x ] ≤ 2 [ x ] ≤ [ 2 x ] ;deoarece

⎡ 99 ⎤ ⎡ 99 ⎤ ⎢ 2 ⎥ = 49 de numere divizibile cu 2 şi ⎢ 3 ⎥ = 33 de numere divizibile cu ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. Am fi poate tentaţi să dăm rezultatul 99 − (49 + 33) , însă trebuie să remarcăm că unele numere au fost numărate de două ori (de exemplu 6, ⎡ 99 ⎤ 12 , 18 , … ) – numărul acestora este egal cu ⎢ ⎥ = 16. Abia acum ⎣ 2 ⋅ 3⎦ putem da rezultatul corect: avem 99 − (49 + 33 − 16) = 33 de numere cu proprietatea din enunţ. □ 18. Să se determine care este exponentul lui 2 în descompunerea în factori primi ai numărului 100! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 100. ⎡100 ⎤ Soluţie: în mulţimea {1, 2,3,...,100} avem ⎢ ⎥ = 50 de numere divizibile ⎣ 2 ⎦ cu 2; dintre aceste 50 de numere, fiecare al doilea este divizibil cel puţin

este adevărată egalitatea:

⎡ x + 3 ⎤ ⎡ x + 4 ⎤ ⎡ x + 5 ⎤ ⎡ x + 1⎤ ⎡ x + 1⎤ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ − ⎢⎣ 6 ⎥⎦ + ⎢⎣ 6 ⎥⎦ = ⎢⎣ 2 ⎥⎦ − ⎢⎣ 3 ⎥⎦ .

(Cristinel Mortici, OJ 2002) x +1 = y şi egalitatea propusă devine Soluţie: Notăm 6 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ ⎢ y + 3 ⎥ − ⎢ y + 2 ⎥ + ⎢ y + 3 ⎥ = [3 y ] − [ 2 y ] ;aceasta se obţine din identităţile ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1⎤ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ ⎡ de tip P.10.: [ 2 y ] = [ y ] + ⎢ y + ⎥ şi [3 y ] = [ y ] + ⎢ y + ⎥ + ⎢ y + ⎥ . □ 2⎦ 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎣

Observaţie: Această problemă arată faptul că dacă n ∈ ∗ , atunci în ⎡k ⎤ mulţimea {1, 2,3,..., k } avem exact ⎢ ⎥ multipli de n .□ ⎣n⎦ 17. Să se determine câte numere naturale nenule,mai mici decât 100,nu sunt divizibile nici cu 2,nici cu 3. Soluţie: Ne referim aşadar la mulţimea {1, 2,3,...,99} în care avem

19. Să se arate că pentru orice x ∈

20. Se consideră numerele p, q ∈

∗

,1 ≤ q ≤ p şi a =

(

)

p 2 + q + p . Să

se arate că a este iraţional şi are partea fracţionară strict mai mare decât 0,75. (Adrian P.Ghioca,ON 2000) 1 Soluţie: Din 1 ≤ q ≤ p rezultă că p 2 < p 2 + q ≤ p 2 + p < p 2 + p + şi 4 1 astfel p < p 2 + q < p + . Deducem astfel că p 2 + q ∈ \ . 2

Deoarece a = 2 p2 + q + 2 p ⋅ p2 + q şi p ≥ 1 , obţinem şi că a ∈

rezultă că b <

(

)

p 2 + q − p . Deoarece 0 <

(

)

p2 + q − p <

)

1 . Să observăm acum că a + b = 2 ⋅ 2 p 2 + q = c ∈ 4

∗

⎧⎪[ x ] − { y} = 2 pentru care ⎨ . ⎪⎩{ x} − [ y ] = 2 (Concurs GM, 2006) ⎡ x + 1⎤ ⎡ x + 2 ⎤ ⎡ x + 1⎤ x − 1 10. Să se rezolve ecuaţia ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥+ 2 . ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦

1 , 2

o. ro

Considerăm acum b =

9. Să se determine x, y ∈

1 < c − b = a < c , de unde [ a ] = c − 1 şi deci 4 3 {a} = a − [ a ] = c − b − c + 1 = 1 − b > . □ 4 III. Probleme propuse. 1. Să se rezolve ecuaţiile: ⎡ x − 2⎤ x + 2 ⎡ x + 1⎤ ⎡ x + 2 ⎤ ⎡ x + 3 ⎤ b) ⎢ a) ⎢ = . ⎥ ⎥+⎢ ⎥+⎢ ⎥ = 3 x. 4 ⎣ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 4 ⎦ { x} . 2. Să se determine x ∈ pentru care x = [ x]

aşadar c −

(Dragoş Unguraş, Concurs RMCS,2007) Profesor, Oţelu-Roşu

tri n

Ultimele zile de primǎvarǎ cu primele mari bucurii matematice

(Titu Andreescu, OL Sibiu, 2003) 3. Să se determine x, y ∈ [ 0, ∞ ) ştiind că ( x + y ) ∈ şi ⎧⎪ 2 [ x ] + [ y ] = 3 . ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + y = 12,5

Judeţul nostru a fost reprezentat, la etapa naţionalǎ a olimpiadei celor mai mici, de o echipǎ formatǎ din 4 elevi, însoţitǎ de doamna profesoarǎ Mariana Drǎghici de la Şcoala nr. 2 Reşiţa. Cei care au reuşit sǎ ajungǎ în acest an pânǎ acolo sunt: la clasa a V-a: Andrei ŞtefǎnescuOţelu-Roşu(Şcoala Gen. 1), Ciulu Miruna- Reşiţa(Şcoala Gen.6), iar la clasa a VI-a: Adina Ţeudan – Reşiţa (Şcoala 2), Silviu Lazǎr – Reşiţa (Şcoala 9). De fapt, numele erau cunoscute de la diverse concursuri anterioare(ceea ce nu exclude absolut deloc ce poate urma: unii dintre colegii lor sǎ aibǎ cel puţin aceleaşi performanţe în anii care urmeazǎ) Concursul s-a desfăşurat la Şcoala „TAKE IONESCU” din Râmnicu - Vâlcea, în perioada 23-25 mai 2008, iar masa şi cazarea au fost la Colegiul Tehnic Forestier. Trebuie sǎ remarcǎm faptul cǎ din partea judeţului nostru, doamna RODICA IATAN a participat în calitate de membru în Comisia de Evaluare şi Organizare a Concursului. Elevii de clasa a VI-a au obţinut rezultate efectiv onorabile, chiar fǎrǎ a fi premiaţi; cei de clasa a V-a au fost chiar şi premiaţi: Andrei a obţinut Menţiune şi medalie de bronz, iar Miruna a obţinut Premiul I şi medalia de Aur... Pentru a sublinia importanţa acestui concurs, trebuie sǎ amintim doar cǎ premiile Ministerului au fost acordate chiar de cǎtre Domnul Profesor Cristian Alexandrescu – preşedintele concursului, inspectorul general de matematicǎ din minister, iar medaliile au fost înmânate de cǎtre Domnul Profesor Universitar Dr. Radu Gologan – Preşedintele S.S.M.R. Profesor, Şc. cu cls. I-VIII nr. 2 Reşiţa

4. Să se determine numerele naturale n pentru care n = 3 ⎡⎣ n ⎤⎦ + 1. (Bulletin Math, Canada) 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 5. Să se arate că ⎢ n + ⎥ = n , ∀n ∈ . n + n+2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ (Gheorghe Eckstein) x [ x] 5 6. Să se arate că 2 ≤ + < , ∀x ∈ , x ≥ 1. [ x] x 2

Loreta Ciulu,Miruna Dalila Ciulu

(Liliana Niculescu) ⎡ n3 + 8n 2 + 1 ⎤ 7. Să se determine n ∈ ∗ pentru care numărul ⎢ ⎥ este 3n ⎣⎢ ⎦⎥ prim. (Gabriel Popa, Concurs Unirea,2003) 8. Să se arate că, dacă a, b, x, y sunt numere reale astfel încât

[ ax + by ] = [bx + ay ] ,atunci

min { a − b , x − y } < 1. (Traian Duţă, OL Braşov,2006)

o. ro

Probleme rezolvate din RMCS 24 Clasa a IV-a

IV.107 Numerele naturale a,b,c verifică egalităţile :

a + b + 2c = 8,3a + b + 4c = 18. i)Să se calculeze 2a + b + 3c ; ii) Dacă c = 1 , există un număr natural d astfel încât 2a + b = 10 ⋅ d ?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Rǎspuns: i) 2a + b + 3c = 13; ii) d = 1. □ IV.108 Dacă a este sfertul numărului 36, b este triplul numărului 10, iar c este jumătatea numărului 18, să se arate că există numerele x, y, z pentru care: i) 3 × a + x = b ; ii) 2 × c + y = b ; iii) x + z = y . Inv. Elisaveta Vlăduţ, Reşiţa Rǎspuns: x = 3, y = 12, z = 9. □ IV.109 Două stilouri şi trei creioane costă 11 lei, iar cinci stilouri şi patru creioane costă 24 lei. a) Cât costă un creion şi un stilou? b) Dacă un stilou costă cât costă cât patru creioane, cât costă şapte creioane şi două stilouri? Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Rǎspuns: a) 5 lei ; b) 15 lei. □ IV.110 Suma a cinci numere naturale consecutive este 2000. Calculaţi jumătatea celui mai mic dintre cele cinci numere. Inv. Elisaveta Vlăduţ, Reşiţa Rǎspuns: 199. □ IV.111 Liviu şi Mihai au împreună 24 de creioane. Jumătate din numărul creioanelor lui Liviu este exact cât un sfert din numărul creioanelor lui Mihai.Câte creioane are fiecare dintre cei doi? Inst. Lidia Todor, Caransebeş Rǎspuns: 8 creioane are Liviu şi 16 creioane are Mihai. IV.112 Bogdan îşi alege un număr, îl înmulţeşte cu 2, apoi numărul obţinut îl înmulţeşte cu 3, iar noul număr obţinut îl înmulţeşte cu 4. Adunând numărul 4 la ultimul număr la care a ajuns, Bogdan a obţinut numărul 100. Oana îşi alege şi ea un număr, îl înmulţeşte cu 5 şi, la numărul obţinut, adună numărul 5; Oana ajunge astfel tot la numărul 100. Care dintre cei doi fraţi şi-a ales un număr mai mare? Prof. Marius Şandru, Reşiţa Rǎspuns: Oana(a ales numǎrul 19, pe când Bogdan a ales 4). □

tri n

În pitorescul oraş Râmnicu Vâlcea, la Şcoala „Take Ionescu”, „Şcoala cu Ceas” cum i se mai spune, am trăit experienţa deosebită pe care ţi-o oferă participarea la un concurs naţional. Competiţia a fost dificilă, s-au întrecut 103 concurenţi la clasa a V-a, subiectele grele, concentrarea maximă. M-am străduit să fac o lucrare cât mai bună şi am reuşit.. De aceea la afişarea rezultatelor m-am simţit uşurată şi mulţumită. Doar câteva lacrimi trădau starea prin care treceam. Eram emoţionată, obosită,dar fericită. Abia a doua zi la festivitatea de premiere când mi s-a acordat Premiul I din partea M.E.C.T. şi Medalia de aur din partea S.S.M.R am înţeles ce performanţă am realizat. Sunt mândră că am reuşit să aduc medalia de aur acasă, pentru mine, pentru şcoala mea, pentru judeţul meu. Rezultatul obţinut este rodul unei munci continue, zi de zi, făcută cu bucurie; pasiunea mea pentru matematică e susţinută de ambiţie,de dorinţa mea de a învinge şi de încrederea cu care abordez fiecare problemă. Mereu mi-am spus că pot, că trebuie să lucrez mai mult. Sunt recunoscătoare şi îi mulţumesc pe această cale d-nei. prof. Susana Simulescu, diriginta mea, care a fost alături de mine în pregătirea intensă de la şcoală, dar nu în ultimul rând susţinerea şi ajutorul din partea părinţilor mei sunt elemente esenţiale în „ecuaţia” succesului meu. Elevǎ, Şc. cu cls.I-VIII Nr.6 Reşiţa

Graficul olimpiadelor şi concursusurilor şcolare □ Etapa pe şcoalǎ a olimpiadei: ianuarie 2009(subiecte propuse de comisia din şcoalǎ)

□ Etapa localǎ a olimpiadei: 14 februarie 2009(subiecte propuse de Comisia judeţeanǎ)

□ Ediţia a IV a a Concursului RMCS, Oţelu-Roşu: 28 februarie 2009 □ Etapa judeţeanǎ a olimpiadei: 7 martie 2009(subiecte propuse de Comisia Centralǎ)

□ Etapa naţionalǎ a Olimpiadei, clasele VII – XII: 12-16 aprilie 2009, Constanţa □ Etapa naţionalǎ a Olimpiadei, clasele V – VI: 29 – 31 mai 2009

V.107 Pentru fiecare n ∈

Clasa a V-a

se notează an = 5n + 2, bn = 5n + 3 . a) Să se arate că pentru orice n ∈ , există k ∈ astfel încât 5 ⋅ k = an + bn ; b) Să se arate că nu există i, j , k ∈

o. ro

pentru care a 2 ⋅ ( a + b ) = 36 .

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

Rǎspuns: 3 perechi: (1,35 ) ,(2,7),(3,1). □ V.110 Pentru fiecare număr natural n , se notează an = (5n + 4)( n + 7) .

astfel încât bk = ai + a j ; c) Să se arate că există cel puţin trei numere naturale n pentru care an + bn este pătrat perfect ; d) Să se arate că nu există n ∈ pentru care cel puţin unul dintre numerele an şi bn este pătrat perfect ;

c) Daniel are pe tricou numărul 5; d) Mihai nu are numărul 6 şi nu joacă baschet ; e) Cel care joacă handbal are numărul 7; f) Cel care are numărul 10 joacă fotbal. Puteţi găsi ce sport practică Bogdan, ce număr are Bogdan pe tricou şi ce sport practică Daniel? Prof. Marius Şandru, Reşiţa Soluţie: Laurenţiu joacǎ fotbal şi are numǎrul 10; Bogdan nu are numǎrul 7, deci nu joacǎ handbal; deoarece nu joacǎ nici baschet şi nici fotbal(Laurenţiu joacǎ fotbal), Bogdan practicǎ cel de-al patrulea sport (cum nu se indicǎ în ipoteze nimic despre acesta, poate fi oricare altul: nataţie, tenis, tir, etc. Oricum, nu putem preciza ce sport practicǎ Bogdan). Pe de altǎ parte, Bogdan nu are numǎrul 5( îl are Daniel), nici 7, nici 10, deci are numǎrul 6. Acum, ajungem la concluzia cǎ Daniel practicǎ baschetul. Asta a fost. (De ultim moment, Bogdan ne-a anunţat cǎ merge marţi şi joi la înot şi în fiecare dupǎ-amiazǎ, cu tatǎl sǎu, la tenis de câmp. Mulţumim mult şi îi dorim succese majore în sport şi la matematicǎ.) □ V.109 Să se găsească numărul perechilor ( a, b ) de numere naturale

tri n

IV.113 Într-un copac se odihnesc 11 păsări, ciori şi rândunele la un loc. Un vânător alungă printr-un foc de armă două ciori şi două rândunele. După două focuri de armă, în copac rămân 3 ciori. Puteţi găsi câte rândunele au fost la început în copac? (enunţ corectat) Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş Rǎspuns: 4 rândunele. IV.114 Ioana are în curte două zambile roşii, două lalele galbene, două lalele roşii şi două zambile galbene. În câte feluri poate alege Ioana flori din grădină pentru a alcătui un buchet format din trei flori de aceeaşi culoare? Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş Rǎspuns: 4 feluri (2 zambile, o lalea – galbene, 2 zambile, o lalea – roşii, 2 lalele, o zambilǎ – galbene, 2 lalele, o zambilǎ – roşii). (Florile nu sunt numerotate, deci nu putem face distincţie între douǎ zambile galbene, de exemplu).

pentru care an ⋅ bn este pătrat perfect ? Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: a) k = 2n + 1; b) presupunem prin absurd cǎ bk = ai + a j şi e) Există n ∈

a) Să se arate că pentru orice n ∈

, an este număr par; b) Să se determine câte elemente are mulţimea M = {n ∈

/ an < 2008}

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa Soluţie: a) Metoda clasicǎ: se considerǎ, pe rând, cazurile n par, n impar; b) testǎri rapide conduc la card ( M ) = 17. □

existǎ, deoarece, de exemplu, ( 5n + 2 ) < an ⋅ bn < ( 5n + 3) . □ V.108 Patru prieteni practică fiecare câte un alt sport şi poartă pe tricouri numere diferite.Se ştie că : a) Bogdan nu joacă baschet şi nu are pe tricou numărul 7; b) Laurenţiu joacă fotbal;

V.111 Să se studieze dacă numărul A = 20052006 + 20062007 + 2007 2008 este pătrat perfect. Prof.Marius Şandru, Reşiţa Soluţie: Ultimele cifre ale celor 3 termeni sunt 5, 6, respectiv 1, deci ultima cifrǎ a numǎrului A este 2, aşadar A nu poate fi pǎtrat perfect.□ V.112 Un grup de patru numere naturale (nu neapărat distincte) se numeşte grup frumos dacă suma a două dintre numere este egală cu suma celorlalte două; de exemplu, grupurile (1,1, 3, 3) şi ( 2, 4, 5, 7 ) sunt frumoase.

ajungem la 5k + 3 = 5(i + j ) + 4 = 5q + 4 , imposibil ; c) de exemplu,

n ∈ {2, 22,62} ; d) ultima cifrǎ poate fi 2 sau 7 , respectiv 3 sau 8 ; e) nu

pentru care grupul ( x, 3, 3 x, 7 ) este frumos;

b) Dacă x ∈ {1, 2, 3,..., 2008} , să se determine câte grupuri frumoase de forma ( x, x + 1, 6, 7 ) există ?

tri n

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Rǎspuns: a) x = 2; b) 2008 grupuri. V.113 Într-o familie de 4 persoane suma vârstelor acestora este de 97 de ani. Băiatul s-a născut când tatăl avea 23 de ani, iar fata s-a născut când mama avea 22 de ani şi fratele său 4 ani. Puteţi găsi ce vârstă are fiecare? Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa Rǎspuns: 11 ani – fata , 15 ani – bǎiatul, 33 ani – mama, 38 ani – tata. V.114 Să se găsească cele mai mici trei numere naturale a,b,c consecutive a căror sumă este un număr care are ultimele patru cifre 2,0,0,8. Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: a = n − 1, b = n, c = n + 1 ⇒ a + b + c = 3n , aşadar numărul a + b + c = a1a2 ...am 2008 este divizibil cu 3; deoarece

2 + 0 + 0 + 8 = 10 = 3 ⋅ 3 + 1 , suma a1 + a2 + ... + am trebuie să fie de forma 3k + 2 . Cele mai mici numere se obţin pentru a1 + a2 + ... + am = 2 ⇒ a + b + c = 22008 ⇒ a = 7335, b = 7336, c = 7337 Observaţie : puteam încerca şi aşa: a + ( a + 1) + (a + 2) = 2008 ⇒ 3a = 2005 , imposibil în ; a + (a + 1) + (a + 2) = 12008 ⇒ 3a = 12005 , la fel şi, în sfârşit, a + ( a + 1) + (a + 2) = 22008 ⇒ a = 7335 , etc. □

Clasa a VI-a

+ ... +

2007

1 4

1 5

+ ... +

2008

şi

VI.107 Se consideră numerele A =

. 2008 a) Să se arate că A + B este număr natural; 2005 < B − A < 2005 . b) Să se arate că 2 Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş 2007 ⎞ ⎛1 3⎞ ⎛1 4⎞ ⎛ 1 Soluţie: a) A + B = ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ... + ⎜ + ⎟ = 2005 ∈ ; ⎝4 4⎠ ⎝5 5⎠ ⎝ 2008 2008 ⎠ 5

b) B − A < 2005 ⇔ B − A < A + B ⇔ 2 A > 0 , adevǎrat; pentru prima inegalitate, sǎ observǎm cǎ 2 3 4 2006 1 1 1 2005 B − A = + + + ... + > + + ... + = . 4 5 6 2008 2 2 2 2 VI.108 Numerele naturale a, b, 4 sunt direct proporţionale cu numerele 2,3, respectiv c . Poate fi numărul a + b + c pătrat perfect ? Prof. Marius Şandru, Reşiţa Rǎspuns : Da, numai pentru a = 2, b = 3, c = 4. (Arǎtaţi cǎ aceasta este singura posibilitate!). □ VI.109 În triunghiul ABC mediatoarea laturii (BC) intersectează latura (AC) în punctul D. Dacă m( ABC ) = 3 ⋅ m( ACB ) şi ( AB ) ≡ ( BD ) , puteţi determina măsurile unghiurilor triunghiului ABC? Istodor Cosmin, elev, Oţelu-Roşu Rǎspuns: 900 ,300 ,600. □ VI.110 Se consideră o mulţime M care satisface următoarele proprietăţi; 3x + 1 ∈M; a) dacă x ∈ M ,atunci 2 4x + 1 b) dacă ∈ M ,atunci x ∈ M . 3 Să se arate că: 7 23 i) dacă 1 ∈ M ,atunci ∈ M ; ii) dacă 3 ∈ M ,atunci ∈M . 2 4 Prof. Heidi Feil, Oţelu-Roşu a) a) 7 a) a) Soluţie : i) 1∈ M ⇒ 2 ∈ M ⇒ ∈ M ; ii) 3 ∈ M ⇒ 5 ∈ M ⇒ 8 ∈ M şi deci 2 23 4 ⋅ +1 b ) 23 4 = 8⇒ ∈ M . □ 3 4 VI.111 Să se determine cifra x ştiind că numărul 1 1 1 + + este număr natural. x 0, ( x ) 0, 0( x ) Gazeta Matematică 2002 Rǎspuns: x ∈ {1, 2, 4,5} . VI.112 Într-un triunghi lungimile laturilor sunt exprimate prin numere naturale pare. Dacă lungimea unei laturi a triunghiului este egală cu 2, arătaţi că triunghiul este isoscel.

o. ro

a) Să se determine x ∈

VII.109 Să se găsească mulţimile A şi B care au fiecare câte 3 elemente ştiind că satisfac următoarele proprietăţi: a) 4 ∈ A ∩ B;

b) x ∈ A ⇒ x 2 ∈ B ; c) suma elementelor mulţimii B este triplul sumei elementelor mulţimii A. Prof. Marius Şandru, Reşiţa Soluţie: De remarcat cǎ, în forma publicatǎ(eroare de tehnoredactare din cauza vitezei sau a oboselii, ne cerem scuze), condiţia b) era

tri n

p > q, p, q ∈ ∗ şi, din 2 p − 2q < 2 , deducem p − q < 1 ⇒ p = q. □ VI.113 Să se determine numerele naturale nenule a, b, c pentru care a +1 b +1 c +1 = = ∈ . b c a Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş a +1 b +1 c +1 a + b + c + 3 Soluţie: = = ∈ , de unde = a+b+c b c a 3 1+ ∈ şi deci ( a + b + c ) ∈ {1,3} ; cum numerele sunt naturale a+b+c nenule, ajungem la a = b = c = 1. □ VI.114 Segmentele (AB) şi (CD) sunt incluse în dreapta d. Se ştie că AB = 7cm şi CD = 5cm . Indicaţi un mod de a delimita pe dreapta d, numai cu ajutorul compasului, un segment (BE) cu lungimea de 1cm. Prof. D.M.Bătineţu-Giurgiu, Mircea Fianu, Bucureşti Soluţie: Luǎm în deschizǎtura compasului [CD ] şi punem vârful în A; obţinem astfel un punct F între A şi B cu AF = 5 ⇒ FB = 2 .Cu aceeaşi deschidere, aşezǎm vârful în F şi obţinem punctul G cu FG = 5 ⇒ BG = 3 ; luǎm în compas acum FB = 2 şi aşezǎm vârful în G şi vom ajunge la FB = GE = 2 ⇒ BE = 1 .

VII.108 Bogdan scrie pe tablă două numere, iar Oana le şterge şi scrie produsul şi modulul diferenţei lor. Pe tablă sunt scrise şi acum însă numerele scrise de Bogdan. Puteţi găsi ce numere a scris Bogdan pe tablă ? Prof. Marius Şandru, Reşiţa Rǎspuns: Dacǎ a şi b sunt numerele scrise de Bogdan pe tablǎ, atunci ( a, b ) ∈ {(1, 2 ) ,(2,1),(a,0),(0, b) / a, b ≥ 0}.

o. ro

Concurs Iaşi Soluţie: Dacǎ lungimile laturilor sunt 2, 2 p, 2q , putem presupune

x ∈ A ⇒ x 2 ∈ A , situaţie în care am fi avut 4 ∈ A ⇒ 42 ∈ A ⇒ 44 ∈ A , deci A nu ar fi avut doar 3 elemente (toţi cei care au observat acest fapt au primit, pe lângǎ punctajul maxim, un bonus de 5 puncte). Cu enunţul în forma actualǎ (problemǎ rezolvatǎ şi aşa de cǎtre unii elevi, care au primit

{

}

şi ei punctajul corespunzǎtor), avem : A = {2, 4, b} , B = 4,16, b 2 şi ,

folosind c), ajungem la A = {1, 2, 4} , B = {1, 4,16} .

Clasa a VII-a

VII.107 Să se arate că dacă două numere reale mai mari decât 1 au produsul egal cu 2, atunci suma lor este mai mică decât 3. Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ Soluţie: Dacă x ≥ 2 ,deoarece y > 1 ,am avea xy > 2 , contradicţie cu ipoteza. Aşadar x < 2 şi,la fel, y < 2. Considerăm x = 1 + a, y = 1 + b, 0 < a < 1, 0 < b < 1. Din xy = 2 deducem a + b + ab = 1 şi, deoarece 0 < ab < 1 , ajungem la a + b = 1 − ab < 1 ⇒ x + y = 1 + a + 1 + b < 3. 2 Metoda 2 (Adriana Dragomir) : a, b > 1, a ⋅ b = 2 ⇒ b = şi avem de arǎtat a 2 cǎ a + < 3 care este echivalentǎ cu ( a − 1) ⋅ ( a − 2 ) < 0 ... □ a

VII.110 Fie ABCD un dreptunghi şi M ∈ ( CD ) cu MD = 2 MC = 2 BC . Să se determine măsura unghiului ascuţit determinat de dreptele BD şi AM. Olimpiadă Iaşi Soluţie: O problemǎ frumoasǎ(pǎrerea noastrǎ). Fǎrǎ a diminua din generalitatea problemei, pentru a uşura unele calcule, putem considera BC = 1 şi astfel avem MC = 1, MD = 2, DC = 3. Dacǎ E este simetricul lui

C faţǎ de B , teorema lui Pitagora conduce la AM = ME = 5,

AE = DB = 10 (AEBD este paralelogram !), deci AME este triunghi dreptunghic isoscel; cum BD // AE , deducem cǎ mǎsura cǎutatǎ este m ( MAE ) = 450. □ VII.111 Se consideră numerele naturale nenule a,b,c,d care a b ab + 1 a+d . Să se calculeze . satisfac: = = c d cd + 1 b+c Concurs Rusia

o. ro

QT QP = , de unde ΔMQR ∼ ΔPQT ⇒ MR // PT . b) Notǎm QR QM

TP ∩ AC = {S } şi, din BP = PC , TB // CS , avem cǎ TBSC este

paralelogram, deci P este mijlocul şi al lui [ ST ] . Deducem cǎ în

1 triunghiul dreptunghic TRS avem RP = TS = TP , de unde 2 TRP ≡ RTP. Pe de altǎ parte, avem şi RTP ≡ MRT (alterne interne...), aşadar TRP ≡ MRT . □

Clasa a VIII-a

VIII.107 Graficele funcţiilor f , g : → , f (x) = ax + b, g(x) = cx + d, ac ≠ 0 sunt cele din desenul de mai jos, iar punctul de pe axa Oy este A(0, 2).

tri n

Soluţie: Considerǎm valoarea comunǎ a rapoartelor ca fiind k şi ajungem a+d imediat la ( kcd − 1) (k − 1) = 0 ⇒ k = 1 , aşadar a = c, b = d ⇒ = 1. □ b+c VII.112 Pentru un examen, comisia a pregătit 8 probleme. Fiecare student primeşte spre rezolvare câte 3 probleme, oricare doi primind cel mult o problemă comună. Care este numărul maxim de studenţi care pot participa în aceste condiţii la examen ? Concurs Baltic Soluţie: Numǎrul maxim cǎutat este 8. Presupunem cǎ existǎ o problemǎ datǎ la cel puţin 4 studenţi şi astfel avem cǎ aceştia mai trebuie sǎ primeascǎ 2 ⋅ 4 = 8 probleme diferite, imposibil. Aşadar, orice problemǎ a fost datǎ la cel mult 3 studenţi. Deoarece avem 8 probleme, numǎrul 8⋅3 = 8. Sǎ arǎtǎm acum cǎ aceastǎ situaţie este şi maxim de studenţi este 3 posibilǎ. Numerotǎm problemele cu 1,2,3,4,5,6,7,8 şi avem, de exemplu, urmǎtoarea repartiţie pentru cei 8 studenţi: (1, 2,3) , ( 3, 4,5 ) , ( 5,6,7 ) ,

( 7,8,1) , ( 2, 4,7 ) , ( 4,6,1) , ( 6,8,3) , (8, 2,5) . □

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ B ⎜ − , 0 ⎟ , C ⎜ − , 0 ⎟ , a > 0, c < 0 . Cu teorema lui Pitagora avem ⎝ a ⎠ ⎝ c ⎠

VII.113 Să se determine numerele prime a,b,c care verifică egalitatea a + 5b + 10c = a ⋅ b ⋅ c . Prof.Aurel Bârsan,Braşov Soluţie : Pentru început, sǎ presupunem cǎ c ≤ b ≤ a . Avem astfel abc ≤ a + 5a + 10a = 16a , de unde bc ≤ 16 . Analizǎm subcazurile posibile (numere prime), apoi încǎ 5 mari cazuri cu subcazurile posibile. Ajungem astfel la: a = 5, b = 5, c = 2 sau a = 7, b = 3, c = 2 sau a = 3, b = 23, c = 2. VII.114 Se consideră triunghiul ABC în care P este mijlocul laturii (BC).Fie M ∈( AB) , N ∈( AC) astfel încât MN // BC şi {Q} = MP ∩ BN.

Să se arate că dacă triunghiul ABC este dreptunghic în A şi are aria egală cu 4,atunci triunghiul este isoscel. Prof.Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu Soluţie : f (0) = 2, g (0) = 2 ⇒ b = 2, d = 2 ; pe de altă parte avem

Perpendiculara din Q pe dreapta AC intersectează pe AC în R şi paralela prin B la AC în T. Să se arate că :

a) TP // MR; b) MRQ ≡ PRQ . Prof.Mircea Fianu, Virgil Nicula, Bucureşti Soluţie: O problemǎ nu chiar uşoarǎ, mai ales în partea a doua !. QT QB = (1) şi MN // BC a) BT // AC conduce la ΔQTB ∼ ΔQRN ⇒ QR QN QP QB conduce la ΔQBP ∼ ΔQNM ⇒ (2). Din (1) şi (2) avem = QM QN

4 4 ⎛ 2 2⎞ 4 4 +4+ = ⎜− + ⎟ ; şi 4 + , AC = 4 + a2 c2 ⎝ c a ⎠ a2 c2 deducem imediat ac = −1 .Deasemenea avem şi AB ⋅ AC 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ A ( ABC ) = = 4 ⇒ ⎜ 1 + 2 ⎟ ⎜ 1 + 2 ⎟ = 4 . Folosind 2 ⎝ a ⎠⎝ c ⎠ ac = −1 ajungem la a = 1, c = −1 şi concluzia este imediată.□

imediat AB = 4 +

VIII.108 Să se determine numerele prime p,q pentru care p 2 − 2q 2 = 1 . *** Soluţie: Evident, p trebuie sǎ fie numǎr impar. Se observǎ imediat soluţia p = 3, q = 2 .Dacǎ ambele numere sunt impare, adicǎ p = 2k + 1, q = 2m + 1, k , m ∈ , prin înlocuire ajungem imediat la

(

)

2 k 2 + k − 2m 2 − 2m = 1 , absurd. □

1 1 4 a+2 b−2 . + = şi = a b 3 b a b−2

a+2+b−2

= = = 1 conduce la b = a + 2 . De aici se b a b+a ajunge imediat la a = 1, b = 3. □ VIII.111 Să se determine numerele întregi m pentru care 3m + 2 ∈ . 2 m + 3m + 2 Soluţie:

Prof. Marius Şandru, Reşiţa

Rǎspuns: m = 0. □ VIII.112 Un elev are 10 bile numerotate cu numerele 1,2,3,...,9,10. El trebuie să le pună în trei urne identice astfel încât în nici o urnă să nu fie două bile numerotate cu numere consecutive. În câte câte moduri se poate face acest lucru? Shortlist, ONM, 2002 Soluţie: Bila cu numǎrul 1 poate fi pusǎ în oricare urnǎ, deci avem 3 posibilitǎţi. Bila cu numǎrul 2 poate fi pusǎ în douǎ urne(cele care nu conţin bila 1), la fel fiecare dintre bilele urmǎtoare. Avem în total, cu principiul produsului, 3 ⋅ 29 modalitǎţi posibile.

b) Dacă a,b,c sunt numere reale pozitive cu abc = 1 , să se arate că: 3 6 . 1+ ≥ a + b + c ab + bc + ca Prof. Mircea Lascu, Vasile Cârtoaje 1 1 1 Soluţie: b) Notǎm x = , y = , z = (evident, xyz = 1 ) şi inegalitatea a b c 3 6 propusǎ devine 1 + ≥ ; folosind a) deducem cǎ xy + yz + zx x + y + z 3 9 şi astfel este suficient sǎ demonstrǎm ≥ 1+ 1+ xy + yz + zx ( x + y + z )2 cǎ 1 +

( x + y + z)

≥

6 . Aceasta este însǎ echivalentǎ cu x+ y+z

⎛ ⎞ 3 ⎜1 − ⎟ ≥ 0 , care e evident adevǎratǎ. □ ⎝ x+ y+z⎠ VIII.114 Se consideră dreptunghiurile ABCD şi AEFG astfel încât punctele B,E,D,G să fie coliniare(în această ordine). Dacă T este punctul de intersecţie al dreptelor BC şi FG, iar H punctul de intersecţie al dreptelor DC şi FE, să se arate că punctele A,H şi T sunt coliniare. Prof. Mircea Fianu, Bucureşti Soluţie : Fie CD ∩ FG = {M } , BC ∩ EF = { N } .Observǎm cǎ patrulaterele DHEA şi FHCT sunt insriptibile (unghiuri opuse drepte) şi astfel ajungem la FTC = 1800 − FHC = DAE şi DAH = DEH .

Prof. Ovidiu Bădescu,Reşiţa a+2

este adevărată

tri n

*** Soluţie: Se poate presupune cǎ laturile cu lungimile 1 şi 8 sunt alǎturate (în caz contrar, tǎiem patrulaterul dupǎ o diagonalǎ şi rǎsturnǎm unul dintre triunghiuri). Aria patrulaterului este astfel cel mult egalǎ cu 8 7 1 ⋅ + 4 ⋅ = 18 . Deoarece 12 + 82 = 42 + 7 2 = 65 , patrulaterul cu aria 2 2 maximǎ de 18 poate fi chiar obţinut(din douǎ triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele egale cu 65 ). O problemǎ frumoasǎ, incitantǎ, nu foarte uşoarǎ. Metoda 2 (prezentatǎ de elevul Marian Marta): Folosim formula lui Arhimede conform cǎreia aria patrulaterului satisface A+C ; aceasta este S 2 = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ) − abcd ⋅ cos 2 2 A+C maximǎ dacǎ cos = 0 , adicǎ A + C = 1800 , adicǎ patrulaterul este 2 inscriptibil; urmeazǎ simple înlocuiri. □ VIII.110 Să se determine numerele întregi a şi b care satisfac:

VIII.113 a) Să se arate că pentru orice x, y, z ∈ 2 inegalitatea ( x + y + z ) ≥ 3 ( xy + yz + zx ) ;

o. ro

VIII.109 Să se calculeze aria maximă a unui patrulater cu lungimile laturilor 1, 4, 7 şi 8.

Din DMG = 900 − FTC = 900 − DAE = DAG avem cǎ şi ADGM este patrulater inscriptibil. Mai departe obţinem: DAM = FGE şi MAH = DAM + DAH = FGE + DEH = 900 . Analog, NAH = 900 , adicǎ punctele M,A,N sunt coliniare. Deoarece în triunghiul TNM punctul H este ortocentru, deducem cǎ A,H,T sunt coliniare (situate pe înǎlţimea AT). □

IX.107 Să se arate că : 2 ≤

x +1

[ x + 1]

[ x + 1] ≤ 5 x +1

, ∀x ≥ 0 , unde

2y − y

[ a ] reprezintă partea întreagă a numărului real a. Prof. Pavel Rîncu, Dalboşeţ Soluţie: Inegalitatea din stânga e imediată folosind inegalitatea mediilor:

a b

b a

+ < . Calcule nu foarte complicate conduc la n +1 n + k +1 2 inegalitatea echivalentă ( n + 2k + 1)( n − k + 1) > 0 , care e evident adevărată (!). □

Soluţie: 5 = 5−

(

36 x+9

= 4⋅

4x − x + 9

+ 4⋅

x+9

)

⇔

x x+9

. 4 x+9 x+9 Prof. Alfred Eckstein,Viorel Tudoran, Arad sau

5x + 9 x+9

x (2 − x )

2 x − x2

≥ x .Analog avem şi

y (2 − y )

IX.111 Să se determine a ∈

x ( x + 9)

= 0 ,de unde x = 3. □

x+9

. Imediat ajungem acum la

IX.109 Se consideră numerele reale a, b, c, a ≠ 0 ,pentru care ac > b 2 .Să se arate că dacă a + c > 2b , atunci 4a + c > 4b. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

Soluţie: Se consideră f : → , f ( x ) = ax 2 − 2bx + c .Conform ipotezei avem Δ < 0 , deci f are semn constant pe .Cum a + c > 2b înseamnă de fapt f (1) > 0 ,deducem f ( x) > 0, ∀x ∈ şi a > 0 ⇒ f (2) = 4a − 4b + c > 0 şi concluzia e imediată. □

≥ y . Prin însumare şi folosind

pentru care există x, y ∈

astfel încât

⎧⎪ x − xy = a . ⎨ 2 2 ⎪⎩ 2 y + xy = a 2

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: Dacă a = 0 ⇒ x = y = 0 ∈ ; dacă a ≠ 0 , înmulţim prima ecuaţie cu − a şi adunăm cele două ecuaţii, apoi împărţim ecuaţia obţinută

cu x 2 ≠ 0 . Să mai remarcăm că x, y ∈

= 4⋅

≥ 2.

x + y ≥ 2 xy = 2 se ajunge la inegalitatea propusă. □

IX.108 Să se rezolve ecuaţia:

tri n

n +1

Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa x+2− x 1 Soluţie: x, y ∈ ( 0, 2 ) ⇒ x (2 − x ) ≤ =1⇒ ≥ 1 şi deci 2 x (2 − x )

a b ⋅ = 2 . Pentru cealaltă notăm b a

≥ 2⋅

[ x] = n, {x} = k ⇒ x = n + k , [ x + 1] = n + 1 şi inegalitatea propusă devine n + k +1

o. ro

IX.110 Să se arate că dacă x, y ∈ ( 0, 2 ) şi x ⋅ y = 1 , atunci

Clasa a IX-a

y =t∈ x

conduce la a ∈

şi, cu notaţia

avem 2t 2 + ( a + 1)t − a = 0 . Această ecuaţie trebuie deci să

aibă rădăcini raţionale, deci există k ∈ 2

astfel încât

Δ = ( a + 5) − 24 = k , de unde ( a + 5 − k )( a + 5 + k ) = 24 . Analizăm

cazurile posibile şi ajungem în final la a ∈ {−12, 0, 2} . □

IX.112 Se notează cu O şi H centrul cercului circumscris, respectiv ortocentrul triunghiului ABC. Să se arate că dacă HA = OA şi HB = OB , atunci HC = OC. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

; analog B = şi finalizarea 3 3 trebuie sǎ vǎ fie la îndemânǎ.(Demonstraţi cǎ AH = R cos A )□ IX.113 Să se determine funcţiile g : → ştiind că: a) ( x + 1) ⋅ g ( x) − x ⋅ g ( x + 1) = 1 , ∀x ∈ ; Soluţie: HA = OA ⇒ 2 R ⋅ cos A = R ⇒ A =

în continuare, cum folosim b)? Din 4a + 1 = k 2 ,12a + 1 = p 2 , 24a + 1 = q 2

X.107 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia: 6x x x ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎜3 + ⎟ . 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 27 ⎠ ⎝ 2 Prof. Alfred Eckstein, Viorel Tudoran, Arad 1 1 Soluţie : Notăm = a, = b, 6 x = t şi astfel ecuaţia se poate scrie 32 3

t at + bt = ( a + b ) ; considerăm f :

cel din desenul de mai jos: a) Dacă A(0,1) şi B este punctul de tangenţă cu Ox, puteţi determina a şi b ? b) Să se arate că există C şi D puncte distincte pe graficul funcţiei date astfel încât ariile triunghiurilor ABC şi ADC reprezintă un acelaşi număr întreg.

care este strict crescătoare, deci injectivă. Aşadar f (t ) = f (1) = 1 conduce 1 la t = 1, x = . □ 6 ( 3n )! este natural. X.108 Să se arate că pentru orice n ∈ ∗ , numărul ( n !)3 ***

( 3n ) ! = ( 3n ) ! ⋅ ( 2n ) ! = C 2n ⋅ C n ∈ . □ 3n 2n ( n !)3 ( n !) ( 2n ) ! ( n !)( n !) X.109 Să se determine numărul funcţiilor f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → {0,1} Soluţie:

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: a) Din f (0) = 1 deducem b = 1 . Vârful parabolei este ⎛ a ⎞ ⎛ a⎞ B ⎜ − ,0 ⎟ ;din f ⎜ − ⎟ = 0 , ajungem la a = ±2 .Cum însǎ xB > 0 , avem ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ doar a = −2 şi deci f ( x) = ( x − 1) ; b) Cel mai simplu ar fi sǎ luǎm 2

C (2,1) ∈ G f şi pentru care A [ ABC ] = 1∈ ; acum, sǎ observǎm cǎ

pentru orice punct M situat pe dreapta orizontalǎ de ecuaţie y = 2 avem A [ AMC ] = 1∈ şi astfel punctul D este intersecţia acestei drepte cu

parabola noastrǎ, adicǎ D(1 + 2, 2) . □

⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a+b⎠ ⎝a+b⎠

→ , f (t ) = ⎜

tri n

ajungem la condiţia ca 3k 2 − 2 şi 6k 2 − 5 sǎ fie simultan pǎtrate perfecte. Se obţin imediat k = 1, k = 3 ⇒ a = 0, a = 2 (rularea pe calculator a unui program pentru k ∈ {1, 2,..., 20000} nu a condus la alte valori; în acest moment, redacţia nu dispune de o soluţie completǎ şi suficient de uşoarǎ a problemei, care sǎ evite rezolvarea unor ecuaţii de tip Pell). Aşadar, avem deocamdatǎ douǎ soluţii : g1 ( x) = 1, g 2 ( x) = 2 x + 1 ...... Aşteptǎm.□ IX.114 Graficul funcţiei f : → , f ( x ) = x 2 + ax + b, a, b ∈ , este

Clasa a X-a

o. ro

b) g (4), g (12), g (24) sunt pătrate perfecte. Prof. Lucian Dragomir, Ovidiu Bădescu Soluţie: Se obţine imediat inductiv cǎ g ( x) = ax + 1, a ∈ . Problema este

pentru care f (1) + f (2) + ... + f (7) = 3 . Elev Istodor Cosmin, Oţelu-Roşu Soluţie: Exact 3 dintre imaginile elementelor din domeniu trebuie sǎ fie

egale cu 1, restul cu 0 ; aceasta se poate alege în C73 = 35 de feluri. X.110 Să se arate că există un singur număr întreg x pentru care x x 2 + log 2 x = . 1 + x2 Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa Soluţie: Din cauza unei erori de tehnoredactare, egalitatea din enunţ nu este verificatǎ de niciun numǎr întreg ( x > 0, x ∈ ⇒ x ≥ 1 şi astfel membrul stâng este cel puţin egal cu 1, pe când cel drept este cel mult egal cu 1/ 2 ). Toţi elevii care au sesizat aceastǎ eroare primesc, evident, x x punctaj maxim.Vǎ propunem înlocuirea ecuaţiei cu: + log2 x = .□ 2 1+ x2

Clasa a XI-a

o. ro

X.111Să se găsească în câte feluri poate fi ales un număr impar de obiecte având la dispoziţie n obiecte. *** Soluţie: Între mulţimile cu numǎr impar de obiecte şi cele cu numǎr par de obiecte existǎ o corespondenţǎ bijectivǎ, deci numǎrul cǎutat este exact jumǎtate din numǎrul total de submulţimi ale unei mulţimi cu n elemente (obiecte), adicǎ 2n−1. □ X.112 Se consideră 3n + 1 obiecte, dintre care n sunt identice, iar restul diferite.Să se determine în câte feluri se pot alege n obiecte dintre cele 3n + 1 considerate. ***

XI.107 a) Să se arate că există cel puţin două funcţii derivabile f : → pentru care f '( x) = x 2 + x + 1, ∀x ∈ ;

b) Să se arate că există o singură funcţie derivabilă g : pentru care g (0) = 0 şi g '( x ) = e x + g ( x ).

→

posibilitǎţi este 22n. □

g ( x) − h( x) = e x + k ; cum g (0) = h(0) , deducem k = −1 şi deci

X.113 Să se calculeze S n =

tri n

Soluţie: Se pot alege cele n obiecte în C2nn+1 + C2nn−+11 + ... + C20n+1 moduri; adunând acestuia acelaşi numǎr, scris astfel : C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn++11 .obţinem 22n +1 şi astfel numǎrul cǎutat de

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa Soluţie: (Lucian Dragomir) a) Orice funcţie f : → de forma 1 1 f ( x) = x3 + x 2 + x + k , unde k ∈ , satisface enunţul!; 3 2 b) Presupunem, prin absurd, cǎ existǎ douǎ funcţii g, h care satisfac condiţiile din enunţ şi obţinem imediat cǎ g / − h / = g − h , de unde

∑ k 3 ⋅ Cnk .

***

k =1

Soluţie(Lucian Dragomir): Vom parcurge câteva etape. Pentru început, n

∑ k ⋅ Cnk = n ⋅ 2n−1 ( rezultat destul de cunoscut, uşor de gǎsit). Acum,

k =0

avem T2 = ∑ k

k =0

⋅ Cnk

= T1 + ∑ (k

k =0

− k ) ⋅ Cnk

n(n − 1) k −2 = T1 + ∑ k (k − 1) ⋅ Cn−2 = k (k − 1) k =2

T3 = Sn = T2 + ∑ (k 3 − k 2 )Cnk = T2 + ∑ k 2 (k − 1) ⋅ k =0

k =2

n(n − 1) k − 2 Cn − 2 = k (k − 1)

X.114 Să se arate că în orice triunghi de laturi a,b,c este adevărată

(

) (

)

inegalitatea a b 2 + c 2 − a 2 + b c 2 + a 2 − b 2 + c a 2 + b 2 − c 2 ≤ 3abc . ***

Soluţie: Cu teorema cosinusului, inegalitatea propusǎ devine 3 ∑ cos A ≤ 2 ; aceasta se gǎseşte în orice carte serioasǎ tematicǎ... □

***

⎡ π⎤ .(observaţie: în forma ⎣ 2 ⎥⎦

crescǎtoare, deci f ( x) ≥ f ( 0 ) , ∀x ∈ ⎢0,

T2 + n(n −1) ∑(k − 2 + 2)Cnk−−22 = T2 + n(n −1)(n − 2)2n−3 + n(n −1)2n−1 = n2 (n + 3)2n−3. k =2

⎡ π⎤

XI.108 Să se demonstreze că x ⋅ sin x + cos x ≥ 1 , ∀x ∈ ⎢0, ⎥ . ⎣ 2⎦

⎡ π⎤ Soluţie: Problemǎ clasicǎ.Se considerǎ f : ⎢ 0, ⎥ → , ⎣ 2⎦ f ( x) = x ⋅ sin x + cos x , care este derivabilǎ şi se aratǎ imediat cǎ este

= T1 + n( n − 1) ∑ Cnk−−22 =T1 + n(n − 1) ⋅ 2n − 2 = n(n + 1) ⋅ 2n − 2 . Analog, k =2 n

egalitatea din enunţ, avem g ( x) − h( x) = e x , contradicţie, aşadar existǎ cel mult o funcţie cu proprietatea din enunţ.Rǎmâne de arǎtat cǎ existǎ o astfel de funcţie!. Observǎm cǎ g ( x) = xe x satisface enunţul. □

T1 =

g ( x) − h( x) = e x − 1 , de unde g / ( x) − h / ( x) = e x şi imediat, înlocuind în

publicatǎ, inegalitatea era falsǎ, dupǎ cum a observat elevul Harald Nezbeda, de exemplu). □ XI.109 Să se arate că dacă numerele reale a,b,c, c ≥ 0 , satisfac relaţiile a + 2b + 3c = 3, a + 3b + 4c = 4, 2a − b + c = 1 , atunci a − b + c ≥ 0. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: Primele trei egalitǎţi conduc la un sistem de ecuaţii, compatibil nedeterminat; se obţine imediat a = 1 − c, b = 1 − c, de unde a − b + c = c ≥ 0. □

XI.110 Să se demonstreze că e <

ππ ee

XI.113 Graficul funcţiei

< e ⋅π .

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa Soluţie: Se aplicǎ teorema lui Lagrange funcţiei f :[e,π ] → , f (x) = x ⋅ ln x. □

→ se notează / f ( x) = g ( x)} . Să se arate că dacă A = {0} ,atunci există

XI.111 Pentru orice funcţii derivabile f , g :

A = {x ∈

c ∈ ( 0,1) pentru care

f / ( c ) − g / (c )

h : [ 0,1] → , h( x) = ( f ( x) − g ( x)) ⋅ (1 − x) . □

⎛ 1 −2 ⎞ XI.112 Se consideră matricea A = ⎜ ⎟ ∈ M2 ( ⎝ 2 −3 ⎠ a)Să se arate că pentru orice B ∈ M2,1 ( X ∈ M2,1 (

) astfel încât

) , există o unică matrice

A⋅ X = B ;

b) Să se arate că există m, n ∈

astfel încât A3 = mA + nI 2 ;

f ( x) = ax3 + bx + c, a ≠ 0

este cel alăturat. Să se arate că abc < 0 .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: lim f ( x) = +∞ ⇒ a > 0 ; f (0) = c > 0 şi, deoarece f are douǎ x →∞

puncte de extrem distincte, ecuaţia asociatǎ derivatei, 3ax 2 + b = 0 , are douǎ rǎdǎcini reale distincte, de unde b < 0. Concluzia e imediatǎ.

1 . x2 a) Să se arate că f este strict descrescătoare pe (0, ∞ ) ; 25 1 1 52 . b) Să se arate că : < 2 + 2 < 144 e 144 π

XI.114 Se consideră funcţia f : (0 , ∞ ) → R ,

f (x ) =

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie : a) banal ; b) se adunǎ inegalitǎţile f (3) < f (e) < f (2) şi f (4) < f (π ) < f (3). □

Clasa a XII-a (a XI-a)

XII.107 Pentru orice numere reale x şi y se notează x ∗ y = x + y + xy . a) Să se arate că există a ∈ astfel încât ( x ∗ y ) ∗ z = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) + a, ∀x, y, z ∈ ;

c) Să se determine numărul perechilor ( x, y ) de numere

→ ,

tri n

. 1− c Prof.Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu Soluţie: Se aplicǎ teorema lui Rolle pe [ 0,1] funcţiei derivabile f ( c ) − g (c )

o. ro

⎧ x ≥ 2y ⎪ întregi pentru care ⎨ 2 x ≥ 3 y ⎪3 x − 5 y ≤ 7 ⎩

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: a) A este inversabilǎ, deci X = A−1B ; b) calcul direct sau relaţia lui Hamilton-Cayley conduc la m = 3, n = −2; c) Primele douǎ inegalitǎţi conduc la x − 2 y = a ∈ , 2 x − 3 y = b ∈ , cu x = 2b − 3a, y = b − 2a ; ultima inegalitate conduce astfel la b + a ≤ 7 şi obţinem imediat 8 + 7 + ... + 1 = 36 perechi ( a, b ) ∈ × , deci şi 36 perechi care satisfac condiţiile din enunţ.

1 1 1 b) Să se calculeze 1 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ; 2 3 2008 c) Să se determine toate numerele reale b pentru care: ∀x, y ≥ b ⇒x∗ y ≥ b *** Soluţie: a) a = −1; b) deoarece x ∗ y = ( x + 1)( y + 1) − 1 ,arǎtǎm prin inducţie cǎ x1 * x2 ∗ ...* xn = ( x1 + 1) ⋅ ( x2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( xn + 1) − 1 şi astfel 1 1 1 ajungem la 1 ∗ ∗ ∗ ... ∗ = 2008 ; c) b = −1. □ 2 3 2008

y = xy − 5 x − 5 y + 30 .

y ∈ ( 5, ∞ ) ;

a) Să se arate că x

⎧x ⎪ d) Să se determine x, y, z pentru care ⎨ y ⎪z ⎩

1 2

y=z

b) Să se calculeze lim (1 + f ( x) ) x .

z=x x= y

x →0

şi strict crescătoare. Cum lim f ( x ) = −∞ , avem că există ε > 0 cu

⇒ v > u , contradicţie. Aşadar u adică şirul este şi strict monoton. Acum teorema lui

Weierstrass şi apoi trecere la limitǎ în relaţia ( xn ) + ln ( xn ) = 0 , de unde n

L + ln L = 0, L ∈ [ 0,1] ⇒ L = 1. □ n

XII.111 Pentru fiecare t ∈

se consideră ft :

→ , ft ( x) = x + t x .

a) Să se arate că ft este bijectivă;

x 2 + 1 ≥ a + ln x, ∀x ∈ .

***

→

x + e− x = m , unde m este un număr real oarecare. *** −x

Soluţie: Se considerǎ f : → , f ( x) = x + e , se studiazǎ variaţia acesteia şi se ajunge la : pentru m < 1 , ecuaţia nu are soluţii; pentru m = 1 , ecuaţia are o rǎdǎcinǎ dublǎ, iar pentru m > 1 , ecuaţia are douǎ rǎdǎcini reale distincte.

***

Sursǎ: Varianta 93, subiecte bacalaureat 2008. □

, f ( x) = x 2 + 1 − a − ln x .

⎛ 1 ⎞ este punct de minim, se impune f ⎜ ⎟ ≥ 0 , de unde 2 ⎝ 2⎠ 3 + ln 2 .□ ajungem la a = 2 XII.114 Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei Deoarece x =

→ , g (t ) = ft −1 (1) este continuă în 0.

b) Să se arate că funcţia g :

1 ; deducem cǎ 2

1 − x0 ≤ 0 , contradicţie. b) limita cerutǎ este egalǎ cu e. □ 2 XII.113 Să se determine cel mai mare număr real a pentru care

f ( xn ) = 0 ; evident ( xn ) este astfel mărginit. Dacă xn = u ≥ v = xn +1 ,

∗

⎡1 ⎤ ⎣2 ⎦

Presupunem cǎ existǎ x0 ∈ ⎢ ,1⎥ pentru care f ( x0 ) <

Soluţie: Se considerǎ funcţia f :

f ( ε ) < 0; în plus, f (1) > 0 , există un unic xn ∈ ( ε ,1) pentru care

xn < xn +1 , ∀n ∈

Avem evident g (0) = 0 şi g '(x) ≥ 0, ∀x ∈[ 0,1] , aşadar g este crescǎtoare.

g ( x0 ) <

*** Soluţie: Considerăm f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = x n + ln x , care este continuă x →0 x >0

*** Soluţie: a) Considerǎm funcţia derivabilǎ g : [ 0,1] → , g ( x) = f ( x) − x .

tri n

( xn )n≥1 este convergent. Să se determine limita şirului ( xn )n≥1 .

⎡1 ⎤ ⎣2 ⎦

a) Să se arate că dacă f '(x) ≥ 1, ∀x ∈[ 0,1] , atunci f (x) ≥ , ∀x ∈ ⎢ ,1⎥ ;

*** Soluţie: Problemǎ de bacalaureat. c) soluţie unicǎ, tripletul ( 6,6,6 ) .□ XII.110 Se consideră funcţia f n : ( 0, ∞ ) → , f n ( x ) = x n + ln x, n ∈ ∗ Să se demonstreze că dacă xn este soluţia ecuaţiei f n ( x) = 0 , atunci şirul

de două ori derivabilă cu

f (0) = 0 şi f '(0) = 1.

b) Să se arate că pentru orice a ∈ ( 5, ∞ ) , există b ∈ ( 5, ∞ ) astfel c) încât a b = 6 ;

deducem u n ≥ v n ⇒ 0 ≤ u n − v n = ln

XII.112 Se consideră o funcţie f : [ −1,1] →

o. ro

XII.109 Pentru orice x, y ∈ ( 5, ∞ ) se notează x

Clasa a IV-a

IV.115 Diferenţa a două numere naturale este cel mai mic număr de trei cifre pare distincte. Dacă din suma lor scădem cel mai mare număr impar de trei cifre identice obţinem succesorul numărului 750. Aflaţi descăzutul. Inst.Mariana Mitricǎ, Reşiţa IV.116 Participând la „Crosul Europei”, Andrei a primit la linia de sosire cartonaşul 10, iar Bogdan s-a aflat pe locul 15, numărând de la sfârşit. Ştiind că între Andrei şi Bogdan mai erau doi copii, iar Bogdan a obţinut un timp mai bun decât Andrei, aflaţi câţi sportivi au participat la cros.

tri n

Regulament Fiecare elev trebuie să rezolve(subliniem din nou: singur!) cât mai multe probleme de la clasa sa, de la clasa precedentă sau de la orice clasă superioară. Redactaţi îngrijit fiecare problemă pe câte o foaie separată (enunţ + autor + soluţie + numele vostru +clasa), completaţi talonul de concurs de pe ultima copertă a revistei şi trimiteţi totul într-un plic format coală ministerială, adresat astfel: Prof.Lucian Dragomir, Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, str.Republicii 10-12, 325700, Oţelu-Roşu, CaraşSeverin (în colţul din dreapta jos a plicului), cu menţiunea “probleme rezolvate, clasa ….”(în colţul din stânga jos, scrieţi evident clasa în care sunteţi). Colţul din stânga sus vă este rezervat(expeditor), acolo vă scrieţi numele, prenumele, adresa. Insistăm asupra trimiterilor în plic(nu în folii de plastic) şi asupra respectării cu stricteţe a termenelor finale indicate de fiecare dată-plicurile primite după data limită nu vor fi luate în considerare. La ediţia a IV-a a concursului vor fi selectaţi concurenţii în funcţie de punctajele obţinute din rezolvarea problemelor publicate în numerele 23, 24, 25 şi 26 ale revistei noastre. În jurul datei de 31 ianuarie 2009 se va întocmi clasamentul general (prin însumarea punctelor obţinute) şi astfel primii clasaţi vor fi invitaţi, împreună, ca şi în acest an, să participe la concurs; acesta va avea loc în 28 februarie 2009, probabil din nou la Oţelu-Roşu. Subiectele vor fi alese tot din probleme de genul sau chiar din RMCS, G.M., R.M.T sau ceva cât de cât nou. Veţi remarca, desigur, că unele probleme pe care vi le propunem sunt din numere mai vechi ale Gazetei Matematice, în speranţa că vă vom trezi interesul pentru una dintre cele mai serioase şi vechi reviste de matematică din lume. Abonaţi-vă la Gazeta Matematică, sigur veţi avea numai de câştigat! Din nou, spor la treabă tuturor: elevi , profesori, părinţi sau prieteni! (Informaţii suplimentare se pot obţine la: prof. Ovidiu Bădescu, tel.: 0255/225544 sau prof. Lucian Dragomir, tel: 0255/530303 sau 0722/883537, e-mail: lucidrag@yahoo.com). ■

Probleme propuse (se primesc soluţii pânǎ în data de 21 noiembrie 2008)

o. ro

Concursul Judeţean al Revistei de Matematică Caraş-Severin, Ediţia a IV-a

Inst.Mariana Mitricǎ,Reşiţa IV.117 Bunica lui Anton vinde la piaţǎ mere şi prune. Pentru 6 kg de mere şi un kg de prune, bunica cere 20 de lei, iar pentru 6 kg de prune şi un kg de mere, cere 15 lei. Marcu are 10 lei şi nu îi plac merele. Câte kg de prune poate cumpǎra Marcu de la bunica lui Anton? Prof. Simina Moica, Arad IV.118 Bunicul lui Anton are 50 de pomi fructiferi (meri şi pruni), iar bunicul lui Marcu are în livada sa cireşi şi vişini. Numǎrul merilor este dublul numǎrului vişinilor, iar numǎrul prunilor este dublul numǎrului cireşilor. Dacǎ bunicul lui Marcu ar mai avea 5 cireşi, atunci numǎrul acestora ar fi egal cu cel al merilor. Puteţi gǎsi câţi pomi, din fiecare soi, are fiecare dintre cei doi bunici? Prof. Simina Moica, Arad IV.119 a) Care este numǎrul minim de numere diferite de o cifrǎ care prin adunare dau un numǎr mai mare decât 40? b) În câte feluri poate fi scris numǎrul 40 ca diferenţǎ a douǎ numere de câte douǎ cifre? *** IV.120 Dacǎ a şi b sunt numere naturale diferite, se considerǎ cǎ perechile ( a, b ) şi ( b, a ) sunt diferite. Sǎ se determine numǎrul perechilor

( x, y ) de numere naturale pentru care 1 + 3 + x + 7 + y = 25 . ***

Clasa a VI-a

V.115 Se considerǎ numerele 1⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 B = ⎜ 2009 − 1 ⎟ + ⎜ 1 + + 2 + 3 + ... + 2009 ⎟ şi 2⎠ ⎝ 3 3 3 3 ⎝3 ⎠ 1⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 C = ⎜ 2011 − 1 ⎟ + ⎜ 1 + + 2 + 3 + ... 2011 ⎟ . Sǎ se determine n ∈ 5⎠ ⎝ 6 6 6 6 ⎝6 ⎠

∗

VI.115 Se consideră a şi b numere naturale nenule astfel încât 11 divide numărul a + 5b .Să se arate că 11 divide numerele 5a + 14b şi 3a + 4b . Prof.Nistor Budescu, Dalboşeţ VI.116 Să se determine cifrele x,a,b,c cu a,b,c numere consecutive, ştiind că xa ⋅ ax = cba (numerele fiind scrise în baza zece). Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa VI.117 Determinaţi cele mai mici numere naturale nenule x,y,z,t şi n, ştiind că: 8 x = 10 y = 15 z = 24t = ( x + y + z + t ) ⋅ n Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa VI.118 Un elev a decupat un triunghi oarecare AOB, despre care ştia că

m( ∠AOB) = 470 .Folosind numai acest şablon, un creion şi rigla negradată

tri n

pentru care numǎrul A = 125n ⋅ B : C se divide cu 102008. Prof. Delia Marinca, Timişoara V.116 Sǎ se determine pentru ce valori ale lui n ∈ numărul n n − 2 se scrie ca un număr cu n − 2 cifre? Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa V.117 Să se determine cifrele x,a,b,c cu a,b,c consecutive, ştiind că xa ⋅ ax = cba (numerele fiind scrise în baza zece).

o. ro

Clasa a V-a

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa V.118 Arătaţi că numărul:

a = 20001985 + 20011985 + 20021985 + 20031985 + 20041985 este divizibil cu 10. Prof. Sânefta Vladu, Moldova Nouǎ V.119 Alina şi Roxana îşi aleg câte un numǎr.Dacǎ înmulţim cu 12 numǎrul Alinei, obţinem numǎrul Roxanei înmulţit cu 10. Dublul numǎrului ales de Alina este cu 8 mai mic decât triplul numǎrului ales de Roxana.Puteţi gǎsi care dintre cele douǎ prietene şi-a ales un numǎr mai mare ? Prof. Simina Moica, Arad V.120 Pentru orice numere naturale nenule n şi m se noteazǎ x ( n , m ) = n 2 − n + m.

(fără raportor), el a reuşit să construiască un unghi cu măsura de 8 o . Construiţi şi voi acest unghi în aceleaşi condiţii, explicând cum aţi procedat. Prof. Delia Marinca, Timişoara VI.119 La o aniversare, gazda a invitat la masa rotundǎ din sufragerie pe cei 7 copii invitaţi (fiecare are cel puţin 7 ani, te poţi înţelege cu ei) şi care au suma vârstelor egalǎ cu 60 de ani. a) Sǎ se arate cǎ printre copiii invitaţi existǎ cel puţin unul care are cel puţin 9 ani; b) Sǎ se arate cǎ existǎ 2 vecini la masǎ care au suma vârstelor cel puţin egalǎ cu 17 ; c) Este posibil ca exact 3 dintre copii sǎ aibǎ fiecare câte 10 ani? d) Este posibil ca exact 4 dintre copii sǎ aibǎ fiecare câte 10 ani? Augustin şi Ioan Septimiu Dinulicǎ, elevi, Caransebeş

a) Sǎ se arate cǎ pentru orice m ∈ ∗ , existǎ n ∈ ∗ astfel încât x( n, m) sǎ fie pǎtrat perfect; b) Sǎ se arate cǎ existǎ m, n ∈ ∗ , m ≠ 7, n ≠ 7 astfel încât x( n,7) şi x(7, m) sǎ fie pǎtrate perfecte; c) Sǎ se gǎseascǎ cel mai mic numǎr natural k pentru care x(7,1) + x(7, 2) + ... + x(7, k ) > 2008. Prof. Ovidiu Bǎdescu, Reşiţa

VI.120 Pe o dreaptǎ d se considerǎ, în aceastǎ ordine, punctele A,B,C,D astfel încât B este mijlocul lui ( AC ) , C este mijlocul lui ( BD), iar BC = 4cm. Dacǎ E este mijlocul lui ( BC ) , iar F şi G sunt separate de dreapta d astfel încât FE ⊥ d , GD ⊥ d , FE = 4cm, GD = 6cm , sǎ se compare lungimile segmentelor ( AF ) şi ( EG ). Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş

Clasa a VIII-a

(900 < α < 1800 ) în care [AD] este înălţime, iar ( AE şi ( AF

bisectoarele ∠BAD , respectiv ∠CAD , E ∈ (BD ), F ∈ (DC ) . Fie M ∈ ( AD ) şi (MD ) ≡ ( AD ) .

VIII.115 Să se arate că : 17 + 15 − 2 ⋅ 13 > 2 ⋅ 14 − 12 − 10 . Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu VIII.116 Se consideră trapezul isoscel ABCD în care AB // CD, AB = 2 ⋅ CD . Se notează cu M şi N mijloacele bazei mari, respectiv bazei

mici, iar P un punct pe dreapta MN pentru care BPM ≡ ABC . Să se arate că dreapta AP este perpendiculară sau pe DM sau pe CM. Prof.Nistor Budescu,Dalboşeţ VIII.117 Fie triunghiului ABC oarecare şi M un punct arbitrar în planul său. Notăm cu G1 , G2 , G3 centrele de greutate ale triunghiurilor MBA,

tri n

VII.115 Să se determine numerele naturale nenule a,b,c pentru care 2a 3b 4c . = = a+2 b+3 4+c Prof.Nistor Budescu, Dalboşeţ VII.116 Să se determine numerele naturale x,y,z pentru care 2 x + 2 y + 2 z = 2336. Olimpiadă Vietnam VII.117 Se dă ΔABC isoscel (AB=AC) cu m ( ∠BAC ) = α

o. ro

Clasa a VII-a

MBC respectiv MCA. Să se arate că triunghiul G1G 2 G3 are arie constantă

oricare ar fi poziţia punctului M în plan, M ∉ [ AB ] ∪ [ BC ] ∪ [CA] . Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

VIII.118 Arătaţi că oricare ar fi numerele naturale m, n, p, q, numărul: N = 2 ⋅ 35m + 4 ⋅ 52n + 5 ⋅ 69 p + 7 ⋅ 86q − 1 este divizibil cu 17. Prof. Delia Marinca, Timişoara VIII.119 Pǎtratele ABCD şi BEFC au latura comunǎ BC de lungime 2.Se noteazǎ [ AF ] ∩ [ BC ] = {O} şi [ AF ] ∩ [ BD ] = {G} . a) Sǎ se arate în cel puţin trei moduri cǎ existǎ a ∈ astfel încât

a) Arătaţi că : MF || AE b) Determinaţi α astfel încât MF ⊥ AC c) Pentru α determinat la punctul b) precizaţi natura ΔAMC . Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa VII.118 a) Sǎ se arate cǎ nu existǎ numere întregi a şi b pentru care 2a + 1 2b + 3 ; = b +1 a +1 b) Sǎ se determine numerele întregi a şi b pentru care 2a + 1 a + 1 . = b +1 b Prof. Simina Moica, Arad VII.119 Sǎ se determine numerele naturale a,b,c pentru care ab + bc + ca = 2 + abc. *** VII.120 În triunghiul ABC se consideră bisectoarea ( AE a unghiului

BAC , E ∈ ( BC ) şi punctele D ∈ ( AB ) , F ∈ AE ∩ CD astfel încât 2 ⋅ DB = AB, 3 ⋅ EC = BC şi 4 ⋅ FC = AB. Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului ABC. Prof.Lucian Dragomir, Shortlist ONM, 2008

A [ DBF ] = a 2 ;

b) Sǎ se arate în cel puţin douǎ moduri cǎ O este mijlocul lui [ AF ] ; c) Sǎ se calculeze A [ ABF ] şi A [ ABG ].

Prof. Simina Moica, Arad VIII.120 Există numere naturale n pentru care 2n + 3n + 10n este pătrat perfect ? Prof.Cristinel Mortici,Târgovişte

a + log 2 b = 2 .

1 1 1 . ≤ + + a 2b + ab 2 a b ab Prof.Nistor Budescu,Dalboşeţ ⎡ x − 1⎤ ⎡ x + 5 ⎤ x + 1 IX.116 Să se rezolve ecuaţia : ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = 2 ,unde ⎣ 3 ⎦ ⎣ 6 ⎦ [ a ] reprezintă partea întreagă a numărului real a. Prof.Nistor Budescu,Dalboşeţ

şi numărul real

α=

x100 − x 99 + ... + x 2 − x + 1 x100 + x 99 + ... + x 2 + x + 1

0, ( 2 ) + 0, ( 3) + 0, ( 4 )

(1 − 2 )(1 + 2 )

. Calculaţi E (α ) .

Prof. Simina Moica, Arad X.117 Sǎ se calculeze partea întreagǎ a numǎrului a = log 6 11 + log11 36 + log36 216 + log 216 1296. Prof. Alfred Ekstein, Viorel Tudoran, Arad X.118 Sǎ se determine x > 0 pentru care x log81 x + 27 x − 6 = 0. Prof. Alfred Ekstein, Viorel Tudoran, Arad X.119 Sǎ se exprime log 49 8 în funcţie de a = log14 42 şi b = log14 36 . Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş X.120 Sǎ se determine numerele naturale m şi n pentru care egalitatea

tri n

IX.117 Să se determine numerele naturale nenule a,b,c pentru care ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜1 + ⎟⎜ 1 + ⎟⎜ 1 + ⎟ = 2 . ⎝ a ⎠⎝ b ⎠⎝ c ⎠ Olimpiadă Marea Britanie IX.118 Considerăm expresia: E ( x ) =

o. ro

X.116 Sǎ se determine perechile ( a, b ) de numere întregi pentru care

Clasa a IX-a

IX.115 Să se arate că dacă a, b ∈ ( 0, ∞ ) ,atunci

x ⋅ n x ⋅ n x 2 ⋅ m x = x 2 este adevǎratǎ pentru orice x > 0, x ≠ 1. Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş Clasa a XI-a ⎛1 0 2⎞ ⎜ ⎟ XI.115 Se considerǎ matricea A = ⎜ −2 1 −2 ⎟ .Sǎ se calculeze A50 . ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ m

Prof. Simina Moica, Arad

XI.116 Folosind notaţiile uzuale pentru un triunghi ABC, sǎ se calculeze

a) f ( x, f ( x, y ) ) = f ( x, y ) + x + 1, ∀x, y ∈ ; b) f (0, y ) = y + 1, ∀y ∈ ; c) f ( x + 1,0) = f ( x,1), ∀x ∈ . Sǎ se calculeze f (1, 4). Prof. Alfred Ekstein, Viorel Tudoran, Arad

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu XI.117 Sǎ se arate cǎ numǎrul a = 91! se divide prin b = 340. Prof. Alfred Ekstein, Viorel Tudoran, Arad XI.118 O dreaptǎ variabilǎ care trece prin punctul P (2,3) intersecteazǎ axele Ox şi Oy în punctele A, respectiv B. Sǎ se calculeze minimul ariei triunghiului AOB. Prof. Alfred Ekstein, Viorel Tudoran, Arad XI.119 Sǎ se determine limita şirului ( an )n≥1 definit prin a1 = 1 şi

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa IX.119 Sǎ se dea un exemplu de ecuaţie cu coeficienţi întregi care are o rǎdǎcinǎ egalǎ cu 1 + 2 + 3. Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş IX.120 Se considerǎ o funcţie f : × → care satisface proprietǎţile :

Clasa a X-a

X.115 Să se arate că există un punct P în interiorul unui triunghi ABC astfel încât m( ABP) = m( BCP) = m(CAP) dacă şi numai dacă triunghiul ABC este echilateral. Prof.Nistor Budescu,Dalboşeţ

1 a2

determinantul D = 1 b

1 c2

cos 2 A cos 2 B . cos 2C

5 ⋅ an +1 = 4 + an 2 , ∀n ∈ ∗ . Prof. Alfred Ekstein, Viorel Tudoran, Arad

XI.120 Se consideră şirul ( xn )n∈ care satisface condiţiile:

a) xn ∈ ( 0, π ) , ∀n ∈ ;

b) sin xn + cos xn +1 = 1, ∀n ∈ .

o. ro

Tabel nominal cu membrii Filialei Caraş-Severin a SSMR cu cotizaţia pe anii 2007 , 2008

Nr.

Nume,prenume

Să se arate că şirul este convergent şi să se determine limita sa. Olimpiadǎ Cluj, 1983 Clasa a XII-a XII.115 Să se determine numerele prime p pentru care există numerele întregi x,y astfel încât : p + 1 = 2 x 2 şi p 2 + 1 = 2 y 2 . Olimpiadă Germania XII.116 Să se arate că pentru orice a, b, c∈ [0,1] are loc inegalitatea : a b c + + + (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 1 . b + c +1 c + a +1 a + b +1 Prof.Ecaterina Zsibriczki,Bocşa XII.117 Se defineşte pe o lege de compoziţie "∗ " care satisface ⎛ a +1⎞ ⎛ a ⎞ condiţiile : 1) ⎜ ⎟ ∗ ⎜ ⎟ = 1 , ∀a ∈ ; ⎝ 3 ⎠ ⎝2⎠ 2) ( a * b ) ⋅ c = ( a ⋅ c ) * ( b ⋅ c ) , ∀a, b, c ∈ . Sǎ se calculeze 10 *14 . Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu XII.118 Se considerǎ o funcţie f : [ 0, ∞ ) → ( 0,1] derivabilǎ şi bijectivǎ,care admite o primitivǎ F cu F (0) = 0 .Sǎ se studiez x injectivitatea şi surjectivitatea funcţiei g : ( 0, ∞ ) → (1, ∞ ) , g ( x) = . F ( x) Prof.Lucian Dragomir,Oţelu-Roşu x13 + x9 − x8 + x 4 XII.119 Sǎ se determine ∫ 19 10 dx , x ∈ ( 0, ∞ ). x + x + x9 + 1 Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu XII.120 Sǎ se arate cǎ un grup ( G , ⋅) cu proprietatea cǎ existǎ

1. 2.

Cleşiu Marian Demetrovici Ion Romeo Neagoe Petrişor Pruteanu Silvia Almăjan Cătălin Boriuc Manuela Ruva Gheorghe Borchescu Angelica Cioloş Aurelia Costa Veronica Cerbu Enache Cosinschi Carmen Lupulescu Daniela Lungu Aurel Lungu Emilia Tulbure Alexandru Miholcea Dan Mustaţă Maria

a, b ∈ G astfel încât ab 2 = b3 a 2 şi b 4 = e , conţine un subgrup izomorf cu grupul ( 2 , + ) . Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

28. Todor Ioan

w 61

19. Peter Eva Maria 20. Laţcu Maria 21. Musteţi Liliana

22. Medoia Gheorghe 23. Iatan Rodica 24. 25. 26. 27.

29. 30. 31. 32. 33.

Rudneanu Iosif Stăniloiu Nicolae Stăniloiu Manuela Todor Veronica

Zibriczki Ecaterina Staicu Lenuţa Seracin Ioan Tina Ana Surulescu Ion

Localitate

2007

2008

Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar

Anina Anina

* *

* _

Grup Şcolar Grup Şcolar Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Grup Şcolar Grup Şcolar Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şcoala Specială Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Liceul Teoretic Tata Oancea Şcoala cu clasele I-VIII Şc. cu clase I-VIII Liceul Teoretic Tata Oancea Grup Şcolar Liceul Teoretic Tata Oancea Şcoala Specială Grup Şcolar Şc. cu clase I-VIII Liceul Teoretic Tata Oancea Liceul Teoretic Tata Oancea Grup Şcolar Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII

Anina Anina Ramna Ocna de Fier Anina Anina Bocşa Bocşa Tirol Bocşa Gherteniş Bocşa Biniş Fizeş Berzovia Bocşa

* * * * _ _ * * * * * * * _ * *

* * * * * * * * * * * * * * * *

Bocşa

Vermeş Bocşa

* *

Bocşa Bocşa

* *

Bocşa Bocşa Bocşa Bocşa

* * * *

Bocşa

Bocşa Şoşdea Măureni Măureni Lăpuşnicel

* _ _ _ *

* * * * *

tri n

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

Instituţia

40. Tătucu Anton 41. Rostescu Constantin

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII

49. Bolbotină Constantin Mirulescu Mariţa Ivaşcu Nicoleta Humiţa Dorina Hurduzeu Diana Mandreşi Ana Buzescu Antoanela Moatăr Lavinia Dragomir Delia Dragomir Adrian Didraga Iacob Bistrian Ana Didraga Elena Stăvăroiu Eugen Corîci Carina Corîci Sebastian Miuţă Bocicariu Janet Dragomir Gorici Ciucă Sorin

68. 69. 70. 71.

Liuba Ioan Gherga Petru Bob Adam Isac Daniel

Liceul Hercules Lic.Pedagogic Lic.Pedagogic Lic.Pedagogic Lic.Pedagogic Lic.Pedagogic Lic.Pedagogic Lic.Pedagogic Lic. Traian Doda Lic. Traian Doda Lic. Traian Doda Grup Şcolar Grup Şcolar Auto Şcoala Gen.2 Şcoala Gen.2 Şcoala Gen.2 Şcoala Gen.8 Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII

72. Liuba Ovidiu 73. Dragotă Ana

Băile Herculane Băile Herculane Iablaniţa GlobuCraiovei Cuptoare Mehadica Mehadia Mehadia Mehadia Mehadia Băile Herculane Băile Herculane Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Caransebeş Armeniş Rusca Teregova Vârciorova Vălişoara Poiana Caransebeş

75. Vasiluţa Violeta 76. Jurj Nuţu

* *

* * * * * * *

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Grup şcolar Auto

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Lic.Tehnologic Lic. Tehnologic Lic.Tehnologic Lic.Tehnologic Liceul Hercules

* * * *

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Pătraşcu Zaharia Iliescu Sabin Popescu Adrian Lalescu Tiberiu Ienea Maria Vasile Mihaela Golopenţa Marius

* * * *

* * _ _

Grup şcolar Auto Grup şcolar Forestier Grup şcolar Forestier Şc. cu clase I-VIII Grup şcolar Forestier Scoala de Arte şi Meserii

* * * * * * * * * _ * _ * * * * * *

* _ * *

Caransebeş Caransebeş

_ _

* *

Caransebeş

Zăgujeni Caransebeş

* _

* *

Teregova

Sacu M.- Nouǎ Pojejena M.- Nouǎ Sicheviţa Coronini Socol M.- Nouǎ Liubcova M.- Nouǎ Belobreşca MoldovaNouă Sf.Elena Câmpia Berzasca M.- Nouǎ M.- Nouǎ M.- Nouǎ

_ * * * * * * * * * * *

* _ _ * _ * * _ * * * *

* * * * * *

_ * * _ * *

M.- Nouǎ M.- Nouǎ Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa

* * * * * * * * * * * * * * _

* * * * * * * * * * * * * * *

o. ro

Şc. cu clase I-VIII

Topleţ Topleţ Domaşnea Cornea

74. Sănduţu Janeta

77. Dragomir Petru

90. 91. 92. 93. 94. 95.

Moldovan Cornel Albeanu Vasile Dărac Cornelia Gîdea Vasilica Hergane Adam Huza Vasile Iancovici Camelia Iovanovici Cristina Mateescu Milena Ocanovici Zoran Panici Nadiţa Radosavlevici Mărioara Răşinariu Lucica Rujici Iasna Floriana Schiha Emilia Dana Scorţan Gheorghe Vladu Dumitru Vladu Sânefta

96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110.

Voilovici Aurelia Ziman Lăcrimioara Unţanu Giurcevca Simulescu Susana Lucaci Marilena Dicu Lenuţa Socol Maria Goşa Anca Coandă Camelia Curescu Simona Rădoi Mirela Şandru Marius Drăghici Mariana Ciulu Loreta Stanca Floarea

78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89.

Grup Şcolar Ind. Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Ind. Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Ind. Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Ind. Şc. cu clase I-VIII Şcoala cu clasele I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Ind. Grup Şcolar Ind. Şcoala cu clasele I-VIII nr.3 Grup Şcolar Ind. Grup Şcolar Ind. Şcoala Gen.6 Şcoala Gen.6 Şcoala Gen.6 Şcoala Gen.12 Şcoala Gen.12 Şcoala Gen.12 Şcoala Gen.8 Şcoala Gen.8 Şcoala Gen.8 Şcoala Gen.2 Şcoala Gen.2 Şcoala Gen.2 Şcoala Gen.2

tri n

39. Opranescu Angela

42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.

Horescu Ioan Roman Simion Vela Anişoara Sadovan Nistor

38. Haracicu Maria

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şcoala cu clasele I-VIII Şc. cu clase I-VIII

34. 35. 36. 37.

Drăghicescu Tomiţă Bobic Florin Paul Sorin-Daniel Iancu Maria Bădoi Marian Curea Nicolae Pîrvu Camelia Simion Gheorghe Spaiuc Veronica Stancu Iovan-Miu Miloş Laura Pop Alexandru Braia Carmen

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şcoala R.Ladea Şcoala R.Ladea Şcoala R.Ladea Şcoala R.Ladea Şcoala R.Ladea Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII

* * _ _ _ * * * * _ * * * * * * * * _ _ _ _ * * * * * * * *

w 65

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

154. Iacob Ionel 155. Imbri Nicolae

* * * * * * * * * * * * *

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII

* * _ * * * * * _ _ _ _ *

Răcăşdia Sasca Montană Pătaş Pătaş Bozovici Dalboşeţ Bozovici Şopotu Vechi Şopotu Nou Prigor Ef. Murgu Lăpuşnicul M Bozovici Bănia Bozovici Oţelu-Roşu Oţelu-Roşu OţeluRoşu OţeluRoşu OţeluRoşu OţeluRoşu OţeluRoşu OţeluRoşu Oţelu-Roşu Zăvoi Rusca Montană Rusca Montană Oţelu-Roşu Oţelu-Roşu Reşiţa Reşiţa

* _

_ *

_ _ _ * * * * * * * * * * * * * * * * * _ * _ *

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * *

o. ro

141. 142. 143. 144. 145. 146. 147. 148. 149. 150. 151. 152. 153.

Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Caraşova Caraşova Caraşova Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Reşiţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa CiclovaRomână Forotic Naidăş Berlişte Oraviţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa Oraviţa Cărbunari Grădinari Ciudanoviţa Vărădia Greoni

156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176. 177. 178. 179.

Pascariu Ion Suta Floare Berbentea Dănilă Rîncu Pavel Pascariu George Găină Nicolae Fuicu Călin Miclău Simona Borchescu Marius Pungilă Petru Găină Iosif Cleşnescu Iancu Bololoi Maria Ferdean Arjentia Sârbu Eftimie Boldea Felicia Suciu Daniela Iacobescu Anişoara Drăghici Liliana Feil Heidi Luca Daniela Cecon Iulia Iuhasz Cornelia Florea Viorel

Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Liceul Teoretic Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII SAM Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Grup Şcolar Şcoala Gen. 3 Şcoala Gen. 3 Şcoala Gen. 1 Şcoala Gen. 1 Şcoala Gen. 1 Şcoala Gen. 1 Grup Şcolar Şc. cu clase I-VIII Şc. cu clase I-VIII

tri n

Lic.Artă Lic.Artă Lic.M. Eliade Lic.M. Eliade Şcoala Gen.1 Şcoala Gen.9 Şcoala Gen.9 Şcoala Gen.9 Şcoala Gen.7 Lic.Traian Vuia Şcoala Gen.7 Şcoala Gen.7 Lic.Bilingv Lic.Bilingv Lic.Bilingv pensionar Lic.T.Lalescu CCD Lic.D-Tietz Lic.D-Tietz Lic.D-Tietz Lic.D-Tietz Lic.Dragalina Lic.Dragalina Lic.Dragalina Gr. Şc. Agricol Gr. Şc. Agricol Gr. Şc. Agricol Gr. Şc. Agricol Şc. cu clase I-VIII

Mara Adriana Moţco Monica-Ana Beţa Maria Iocşa Lucia Dobriţan Heckl Alina Avrămescu Irina Belci Ion Chiş Vasile Buzilă Claudia Buzilă Mircea Roşu Lia Răduca Rodica Băcescu Mirela Pegulescu Delia Sorca Gheorghe Iucu Mircea Bădescu Ovidiu Deaconu Tudor Gherghe Elena Vlăduceanu Cristina Vucescu Adela Cîrlugea Ana Pistrilă Ion Dumitru Lazarov Mihai Milotin Mirela Ţicu Maria Lazarov Aurica Chiriţă Mircea Vornicu Eleonora Mîşcoi Geta

111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140.

180. Ardelean Ion 181. 182. 183. 184.

Dragomir Adriana Dragomir Lucian Macovei Daniela Szucs Alecxandru

Şc. cu clase I-VIII Grup Şcolar Grup Şcolar Lic.Baptist Lic.Baptist

Facem sublinierea că dintre toţi aceştia şi dintre elevii judeţului nostru, prin SSMR, sunt abonaţi la Gazeta Matematică doar 40 de persoane (avem semnale că sunt şi câţiva elevi care s-au abonat individual). Oricum, numărul abonamentelor este incredibil de mic! Aşteptăm pentru anul 2009 cereri de abonamente (la prof. Lucian Dragomir sau la responsabilii de zonă). Revista noastră e destul de bună(aşa credem noi), dar nu se poate în niciun caz substitui revistei de tradiţie şi valoare care a fost şi este Gazeta Matematică!

Clasa a IV-a

Liceul Hercules Băile Herculane (Prof. Constantin Bolbotină, prof.Marius Golopenţa) Şandru Ilie Daniel 160(254), Gherghina Liviu (70), Dancău Anca Ionela 8(48) , Dimcea Alexandra Ana Maria 60(110), Coman Petre Daniel (97), Török Bogdan (60), Mihart Georgiana (80), Ferescu Liana (80), Vlaicu Dana (57), Şuşarǎ Bianca 88(88). Şcoala Berzasca (Prof. Dana Emilia Schiha) Vulpescu Iulia 126(236). Şcoala Bozovici (Prof.Maria Bololoi) Mitocaru Patricia 151(269), Iancu Mara-Timea(110), Ruva Mihaela 134(234), Pervu Georgiana (110), Nicola Ion Cristian (60), Hânda Mihai (110). Liceul Eftimie Murgu Bozovici (Floarea Haramuz-Şuta) Dancea Nicolae 150(212), Drăgilă Ioan Marian 143(197), Suveţi Anca Marinela 154(211). Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof.Pavel Rîncu) Ţunea Lia (64), Motoroga Elisa Mirela (65). Şcoala Generală nr. 6 Reşiţa (Prof. Susana Simulescu) Ciulu Miruna Dalila 210(350). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Ion Belci, Prof. Irina Avrămescu) Peptan Andrei Valentin 136(266), Pangica Antonio (125), Bercean Bogdan Alexandru 134(259). Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Mariana Iancu, Prof. Marian Bădoi) Gheorghişan Călin 195(325), Dănilă Mădălina 248(406). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (Prof. Daniela Suciu, Prof. Felicia Boldea) Băilă Cristina (90), Românu Nicoleta (90), Barbu Daniel (84), Manea Florina (122), Dulan Ioniţă (80), Preda Cristina (77), Vladu Alina 125(125). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu(Prof. Heidi Feil) Guţan Iuliana 176(284), Buţă Laurian-Paul 140(267), Ştefănescu Andrei 235(385), Raţ Laura(70), Iamandei Daiana 137(197), Roşu Ionuţ (60), Trica Alexandru (80). Grup Şcolar Oţelu-Roşu(Prof. Iulia Cecon) Olaru Ionuţ 100(147), Roi Karmina 70(70), Pascu Dalida 50(50). Liceul Pedagogic Caransebeş (Prof. Dorina Humiţa, Prof. Antoanela Buzescu) Bivolaru Iulia Mălina 160(240), Băzăvan Răzvan Alexandru 60(90), Băzăvan Oana Cătălina 67(97), Dinulică Petru Augustin 190(320), Dinulică Septimiu 190(320), Dragomir Roberto 50(80).

Clasa a V-a

Clasa a VI-a

tri n

Liceul Hercules Băile Herculane (Inst.Alexa Gaiţă, Înv. Doina Zah, Înv. Felicia Adriana Laitin, Înv. Mirela Bolbotină) Barbu Cristian 80(120), Burcin Andreea 80(120), Lupşan Corina 50(130), Moagă Alecsandru 80(130), Căpăţână Alexandra Maria (40), Velcan Anca (50), Stanciu AnaMaria (60), Stanciu Ani (60),Vlascu Cătălin 80(130), Nicoară Denisa 80(130), Străinescu Andra 80(130), Vătavu-Pepa Călina 80(130). Şcoala Bolvaşniţa (Inst. Mihaela Goanţă) Vălean Robert 10, Ştirban Simona 10(20),Mihăilescu Flavius 10(20), Dragu Maria 10(20), Jura Damarius Cǎtǎlin 10(10). Liceul Pedagogic Caransebeş (Înv. Elena Minea) Szabo Ciprian 80(80).

Liceul Traian Doda Caransebeş (Înv.Violeta Ionescu) Iliescu Alexandru 80(139). Grup Şcolar Moldova Nouă( Înv. Anastasia Cristina Stroia) Stănuţă Nicolae Eduard (40), Stoleriu Nicolae Denis 60(90), Anghel Alexandru (40), Toma Monica (40), Costinaş Cristian (40).

o. ro

Rubrica rezolvitorilor Punctaje obţinute pentru rezolvarea probemelor din RMCS nr. 24 (în paranteză apar punctajele realizate pentru ediţia a IV-a a Concursului RMCS) Vǎ rugǎm sǎ transmiteţi redacţiei orice greşealǎ apǎrutǎ (clasǎ, profesor, şcoalǎ, etc.). Vǎ mulţumim pentru înţelegere.

Şcoala Ciclova Românǎ ( Prof. Geta Mîşcoi) Crǎciunel Viluţu 23(23), Munteanu Andreea 38(38), Muia Diana 38(38). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Florica Boulescu)Neaţu Monica 80(118), Ursul Larisa Iasmina (20), Ciobanu Anca 70(120), Azap Denisa 40(40), Vasilovici Camil 70(70). Şcoala Romul Ladea Oraviţa (Inst. Liliana Crăciun) Balmez AndradaIoana 100(160), Murgu Teodora 80(80). Şcoala Generală 9 Reşiţa (Înv.Lidia Adamescu, prof. Irina Avrǎmescu) Stefan Andrei (55), Buşoi Natalia 80(138), Munteanu Ionuţ 110 (158), Mîcnea Alexandra (55), Pepa Nicoleta (55), Boldea Cristina (55), Cata Larisa (55), Gaiţă Nadine (59), Burghină Vali (48), Antonescu Florina (58). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Înv. Luminiţa Orszari, Prof. Heidi Feil) Szalma Eric 30(30). Şcoala Generală nr.3 Oţelu-Roşu(Înv. Irina Cîrstea, Prof. Felicia Boldea) Preda Sebastian Mihai (30), Lazǎr Rǎzvan Ionuţ 123(123).

Şcoala Rusca Teregova(Prof. Sorin Ciucă) Stepanescu Georgeta (72), Oprişan Cristina (42), Blaj Ioan 37(85), Moacă Nicolae 75(145).

Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină)Barbeş Cezara 116(194), Nicola Alexandra 116(192), Băcilă Cristiana 120(176), Curescu Elena Cristina 116(116) . Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir)Stoicănescu Gelu 130(210). Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu) Timofte Tina 58(118). Şcoala Generală Dalboşeţ(Prof. Pavel Rîncu) Jarcu lorena Maria (80), Marin Lidia Mădălina (58), Drăgilă Cătălin Sebastian (60), Căpăţînă Dana Maria (57). Liceul Hercules Băile Herculane(Prof.Marius Golopenţa)Tabugan Dana 120(120). Grup Şcolar Moldova Nouă(Prof. Vasilica Gîdea) Pǎunovici Rebeca 40(40). Şcoala Rusca Teregova Prof. Sorin Ciucă) Codoşpan Florinela 67(123), Davidescu Toma (14), Blaj Marinela 57(57), Humiţa Maria 96(96). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Pascu Andra Diana 70(140). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil)Krokoş Lorena 130(237), Kuhn Anne Marie 130(237). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Adriana Dragomir) Dumitresc Cecilia 54(116), Nasta Laura 54(116). Şcoala Vîrciorova (Prof. Ioan Liuba) Măran Marius 60(100).

tri n

Şcoala Bănia (Prof.Iancu Cleşnescu) Odobaşa Daniel (107). Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină , Maria Bololoi) Vrancea Andreea 126(213), Ştefan Ana (60), Munteanu Mădălina (90), Holbotă Viorica (97), Beloescu Cristina (107), Hotac Adina 160(160). Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş(Prof. Dorina Humiţa) Ban Ioana (60), Stanciu Georgiana Maria (40). Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu)Băcilă Alexandru 50, Careba Denisa (56). Grup Şcolar Moldova Nouă(Prof. Vasilica Gîdea)Oprea Adelina 60(110), Tarsoly Carla 40(90), Beloia Marinela (50). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Ţeudan Adina 120(210), Popa Andreea 40(100), Onofrei Iulia 100(158), Drăghici Livia Liliana 160(290),Aghescu Monica Elena 150(210). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avramescu, Prof.Vasile Chiş, Prof. Ion Belci) Peptan Alexandru 133 (243), Colgea Alexandru (60), Lazăr Silviu Ioan 120(330), Muscai Lorena (60). Liceul Gen.Dragalina Oraviţa (Prof. Mihai Lazarov) Sava Isabella (58). Şcoala Romul Ladea Oraviţa(Prof. Camelia Pîrvu, Prof. Minodora Savu) Marocico Flavius 30(30), Serafin Dennis George 140(140). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil, Prof. Anişoara Popa) Pop Cristian Ionuţ 100(180), Radu Ionela 115(202), Tuştean Patricia 50(100), Boran Cristian (40), Alexa Alexandra 160(160), Bidilici Rǎzvan 90(90). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu(prof.Felicia Boldea)Cărăuşu Robert 90(198), Băilă Diana 100(162), Tănasă Raul 107(174), Preda Gabriela Dagmar 120(235), Mihuţ Marius Cosmin 107(107). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Iulia Cecon) Vărgatu Alina 40(70), Popescu Ana Maria 40(70), Călău Maria 104(154). Şcoala Vîrciorova (Prof.Ioan Liuba) Turnea Ion (70). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Humiţa Ileana (48), Humiţa Maria 30(30), Humiţa Cosmin 30(30). Liceul Traian Doda Caransebeş(Prof. Florin Ciocan) Szabo Ildiko 150(150). Grup Şcolar Construcţii Maşini Caransebeş (Prof. Sebastian Corîci) Bǎdescu Patricia Liana 160(160).

o. ro

Clasa a VII-a

Clasa a VIII-a

Clasa a IX-a

Şcoala Bozovici (Prof. Maria Bololoi) Borchescu Anamaria (60), Borozan Florina (48). Şcoala Bănia (Prof. Iancu Cleşnescu) Derlean Pavel 67(142). Liceul Traian Doda Caransebeş(Prof. Delia Dragomir, Prof. Lavinia Moatǎr)Mocanu Ioana 42(209), Paşan Petru 86(210),Matei Sergiu 47(47). Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Humiţa, Prof. Antoanela Buzescu) Semenescu Anca 120(227), Borcean Gheorghe (50), Marta Marian 90(90). Grup Şcolar Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil, Prof. Lucian Dragomir) Duma Andrei Florin 53(121), Tuştean Claudiu 62(62), Buliga Adrian Denis 57(57), Bugariu Timeea 62(62), Bugariu Rǎzvan 72(72).

● un plic(de fapt foi într-o folie de plastic!) nu are indicat absolut nimic: nume, clasă, şcoală... am aflat acum cǎ este vorba despre Raluca Damian 30(70). Somn uşor. Clasa a XII-a

o. ro

Clasa a X-a

Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş(Prof. Lavinia Moatăr)Gurgu Caius (30), Kremer Emanuela (30), Iliescu Marcel (30), Ciortan Marius (30). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu(Prof. Lucian Dragomir) Unguraş Dragoş 60 (130), Buzuriu Alina (30), Dragomir Lucia (30), Beg Apostol (30). Liceul Gen. Dragalina Oraviţa(Prof.Mihai Lazarov) Nezbeda Harald 54(54).

Colegiul Naţional Moise Nicoarǎ Arad (Prof. Ovidiu Bodrogeanu) Adina Vlad 67(67) Liceul Tata Oancea Bocşa (Prof.Ioan Todor) Stăniloiu Ovidiu 90(168). Liceul Hercules Băile Herculane (Prof.Constantin Bolbotină) Stolojescu Anca (50) Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Moatăr Alexandra (60), Jdioreanţu Doriana (27), MiculescuMatei (47), Colţan Călin (47), Blidariu Florentina (52), Timofte Andrei (47), Megan Ligia (60), Milcu Roxana (108), Enăşel Ion (57), Dumitrescu Otilia (47), Ciobanu Claudiu (47), Humiţa Gheorghe (42), Stefan Emanuel (47), Carabin Claudia (47), Neamţiu Nicoleta (47), Babeu Nicolae (38), Bîrsan Mirela (57), Muntian Adriana (47), Săbăilă Marius (47), Blidariu Florentina (55), Voinea Alexandra (40), Hromei Diana (57), Teodorescu Silviu (38). Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Mureşan Ana-Maria (90), Mureşan Alexandru Ioan (90). Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Iacob Didraga) Ţiu Mihai (28), Bălulescu Bianca Veronica (40), Galamba Ionel Marinel (48), Aghescu Alina Mihaela (27), Cristescu-Loga Cerasela (58), Ionaşcu Simona-Suzzana (45), Florea Maria Adelina (27), Turnea AnaMaria (45), Negrei Mihaela (45), Stolojescu Oana (45), Turnea Adasena (50),Train Anca (40), Rotaru Nicolae (27), Toth Lavinia (28). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu(Prof. Lucian Dragomir) Bugariu Dan 46(121), Lupu Vlad (50), Moisescu Mihaela (30).

Repetǎm din nou invitaţia fǎcutǎ de nenumǎrate ori, colegilor noştri, elevilor noştri, de a trimite materiale compatibile cu profilul revistei noastre(note, articole, probleme, proiecte); pe cât posibil, toate redactate electronic, folosind pentru orice micǎ formulǎ sau relaţie matematicǎ, editorul de ecuaţii Math.Type, font Times New Roman, caractere 11. Revista este a noastrǎ, a voastrǎ, a judeţului, a Filialei Caraş-Severin a Societǎţii de Ştiinţe Matematice din România, chiar dacǎ uneori dǎ impresia cǎ este a unui cerc restrâns de colaboratori; dacǎ aşa vi se pare, întrebaţi-vǎ ce faceţi pentru a schimba asta. Dacǎ nu, e destul de bine...

tri n

Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Delia Dragomir, Iacob Didraga) Bona Petru 48(136), Prunar Victor 145(305), Hurduzeu Iconia 75(132), Todor Elena 70(70). Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş(Prof. Antoanela Buzescu) Marta Sebastian (88). Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu)Simion Larisa (60), Popovici Georgian (87), Meşter Sergiu 52(109). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir)Atinge Carina 57(99), Cococeanu Oana 86(144), Ştefănigă Sebastian 60(98). Liceul Gen.Dragalina Oraviţa(Prof.Mihai Lazarov) Pricop Romina 123(163), Persu Daniel 5 (25). Grup Şcolar Moldova Nouă(Prof. Lǎcrimioara Ziman)Istudor Deian 45(45). Clasa a XI-a

Rugăm insistent să respectaţi regulile de trimitere a soluţiilor exact cum sunt indicate pe ultima copertă!